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Th. Kaluza 
rend nämlich der alte Äquivalenzbegriff ein rein arithmetisch formaler 
ist, der von den Begriffen Menge, Element und ein eindeutige Zu- 
ordnung keinen expliziten Gebrauch macht, besteht bei der modi- 
fizierten Äquivalenz wenigstens die Möglichkeit, gestützt auf die Idee 
der Belegungsmenge bis zu den genannten Grundbegriffen der 
Mengenlehre zurückzugehen, mag auch die praktische Durchführung 
dieser Reduktion mit großen Umständen verknüpft sein. 
Schlußbemerkungen. 
überblicken wir nochmals kurz das bereits in der Einleitung 
gekennzeichnete Hauptresultat der vorstehenden Entwickelungen. 
Wir haben da zunächst, im engsten Anschluß an gewisse Er- 
scheinungen, die beim numerischen Rechnen mit sehr großen Zahlen 
auftreten, eine zweifach unendliche Schar von arithmetischen Systemen 
aufgestellt, die wir, da sie durchaus im Rahmen des Endlichen bleiben, 
kurzweg finite Systeme nennen wollen. Es sind dies arithmetische 
Gebäude, in denen für alle natürlichen Zahlen oberhalb einer be- 
stimmten Zahl k (der Erzeugenden des betreffenden Zahlschweifes) 
eine gewisse Größenvergleichung (repräsentiert durch die (»-stufige 
Äquivalenz) festgelegt ist. Durch die Werte von q bzw. k unter- 
scheiden sich die einzelnen finiten Systeme von einander; allen 
gemeinsam ist noch eine nahezu selbstverständliche Definition der 
Teilung, sowie eine auf die Umkehrung der echten Operation vierter 
Stufe zurückgehende Klassifikation der natürlichen Zahlen nach ihrer 
Größe. Man kann, wenn man will, in der Gesamtheit dieser Systeme 
nur eine approximative Arithmetik großer Zahlen sehen; man kann aber 
auch, und das ist der leitende Gedanke dieser Arbeit, in ihnen die 
Fropyläen der transfiniten Kardinaltheorie erblicken. Diese Theorie, 
das transfinite System, erscheint dann als der Grenzfall der unendlichen 
Menge aller finiten Systeme . Teils sind dabei die Sätze des transfiniten 
Systems bereits bei einer unendlichen Folge von finiten Systemen exakt 
erfüllt, teils lassen sich solche Folgen finiter Systeme angeben, in 
denen die betreffenden transfiniten Sätze mit von Glied zu Glied sich 
steigernder Genauigkeit gelten, so daß man für einen Satz der zweiten 
Art stets in der Lage ist, ein finites System anzugeben, in dem er 
mit beliebig vorgegebener Genauigkeit erfüllt wird. Was man hierbei 
unter Genauigkeit zu verstehen hat, muß natürlich arithmetisch prä- 
zisiert werden , was unter Anlehnung an Wahrscheinlichkeitsbildungen 
