Eine Abbildung der transfiniten Kardinaltheorie auf das Endliche. 
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geschieht. Beim Übergange zur Grenze entspricht den arithmetischen 
^-stufigen Aquivalenzbeziehungen der gewöhnliche kardinal theoretische 
Aquivalenzbegriff, während der erwähnten Klassifikation der natür- 
lichen Zahlen die Reihe der aufsteigenden Alefmächtigkeiten gegen- 
übersteht. 
Damit erscheint das in der Einleitung gesteckte Hauptziel, einen 
Zusammenhang zwischen dem aktualen und dem potentiellen TJnendlich- 
großen zu vermitteln , im wesentlichen erreicht 1 ). 
Zum Beschluß soll noch auf einen möglicherweise wichtigen 
Punkt hingedeutet werden: Zu den in letzter Zeit entstandenen axio- 
matischen Begründungen der Mengenlehre gehören auch Untersuchungen 
über die Unabhängigkeit der einzelnen Axiome oder Axiomgruppen 
voneinander, wobei zweifellos einfache Beispiele nichtcantorscher 
Mengenlehren von Nutzen sein dürften. Alle unsere finiten Systeme 
sind nun im Grunde nichts anderes als solche nichtcantorsche Kardinal- 
theorien, insofern sie sicher nicht allen Axiomen der transfiniten 
Kardinaltheorie genügen. Von dieser Erkenntnis bis zur Verwendung 
der von uns benutzten oder ähnlicher finiter Systeme in dem geplanten 
Siüne ist natürlich noch ein weiter Schritt; unter anderem wäre da 
eine axiomatische Begründung der finiten Systeme selbst erwünscht. 
Ein weiteres Ziel wäre also die Herstellung einer unendlichen Folge 
oder Doppelfolge von Axiomensystemen, deren erstes die endliche Kardinal- 
theorie liefern würde, während die transfinite Kardinaltheorie durch 
das Grenzsystem der Folge bestimmt erschiene. 
Könnte man gar noch die widerspruchslose Existenz dieses Grenz- 
systems ohne Benutzung des aktualen Unendlichgroßen, etwa aus der 
Existenz der finiten Systeme und geeigneten Grenzbetrachtungen logischer 
Art allein, nach weisen, so wäre damit nicht nur, wie oben, ein potentieller 
Aufbau, sondern eine wirkliche potentielle Begründung der transfiniten 
Kardinaltheorie geleistet. Ob dies aber überhaupt im Bereiche der 
logischen Möglichkeit liegt, wage ich nicht zu entscheiden. 
7 ) Auf einige von selbst erwachsende Fragen, z. B. die nach dem Verhältnis der 
entwickelten Theorie zur Lehre von den Unendlich der Funktionen gedenke ich später 
einmal zurückzukommen. 
Schriften d. Physik.-ökonom. Gesellschaft. Jahrgang LVIl. 
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