Ricerche sui complessi di rette di ordine due e della 2 a specie dell’ s, 
Si fissi un sistema co 1 razionale di ipersuperficie cubiche, ciascuna dotata di quartica, 
doppia e tangenti il piano cp ( 58 ). Indi si stabilisca una corrispondenza (. 1,1 ) fra queste 
ipersuperfìcie e gii spazi passanti per cp; il luogo delia superfìcie comune a due elementi 
omologhi, è 1 ’ ipersuperfìcie ( I> richiesta. 
44. Sia ora ( D un S,-cono, evidentemente quadrico. In ognuno degli spazi tangenti 
di ( 1 > esiste una congruenza d’ ordine uno, tale che ogni suo raggio ha i due fochi coin- 
cidenti in uno stesso punto di una retta della superficie cp ; onde in ogni spazio tangente 
( I> esiste una retta di cp perfettamente individuata. 
Intanto è una siffatta superfìcie ogni rigata d’ un certo ordine in dotata della retta S t 
come direttrice (m — 7)-pla. Ma più in generale, qualunque superfìcie cp siffatta si può co- 
struire stabilendo una corrispondenza biunivoca fra gli spazi tangenti di ( D e i piani di un 
sistema oo 1 (razionale) di piani, tutti passanti per uno stesso punto V, con la condizione 
che i due spazi tangenti di ( I> passanti per V, contengano rispettivamente i piani omologhi 
a questi spazi medesimi. La retta comune ad uno spazio e a un piano corrispondenti, 
genera ( 59 ) una rigata cp con le generatrici in corrispondenza biunivoca e prospettiva con 
gli spazi tangenti di <I>. 
Ciò posto per costruire il complesso T si può procedere come segue. 
Si fìssi un piano tx incidente S 1 in un punto A, e in tx un fascio p di curve d’ un 
certo ordine x con A come (x — /)-plo. Inottre si fìssi in cp un inviluppo razionale 7 d’ in- 
dice j, di curva unisecanti le generatrici di cp, e infine si stabilisca una corrispondenza 
(/, l) fra le curve di 7 e quelle del fascio p. Ed ora sia S uno qualunque degli spazi tan- 
genti <I>; esso seca ulteriormente cp in una curva della quale fa parte una generatrice g 
(perfettamente individuata). Per un punto generico P di g passano j curve di 7 , alle quali 
corrispondono jl curve di p, e ciascuna di queste seca (oltre che in A) in un sol punto 
la retta 2tx; si ottengono cosi jl punti di questa retta Sic, i quali proiettati da g dànno jl 
piani che assumeremo come corrispondenti del punto P. Viceversa dato uno di questi piani, 
esso seca la retta Nx in un punto, per cui passa una (sola) curva del fascio p ; a questa 
curva corrisponde una (sola) curva di 7 , la quale seca g soltanto nel punto P. Ne segue 
che fra i punti di g e i piani (in S) di g medesima, esiste una corrispondenza (/, jl), e 
le rette che appartengono simultaneamente ad un punto e a un piano corrispondenti, ge- 
nerano una congruenza d’ordine uno. Al variare di £ questa congruenza genera un com- 
plesso r d’ ordine due , una retta generica del quale è tangente ( 1>, ed ha i rimanenti due 
fochi, coincidenti nel punto (unico) in cui essa si appoggia alla rigata cp. 
È chiaro che il complesso esaminato in questo n°, quelli dei n 1 10, 23, 35, 37, 40, 
costituiscono tutti i complessi d’ ordine due e di 2° specie, nell’ipotesi che l’ipersuperficie 
focale ( I> sia un S^cono (necessariamente quadrico). 
CAP. III. 
45. Se diciamo che un complesso (irriducibile) d’ordine 3 > 1 e di 2 a specie, appar- 
tiene al Tipo 1°, II °, III 0 , secondo che le sue rette si appoggiano tutte ad una curva 
(singolare), ovvero son corde di una superficie (irriducibile), 0 infine incontrano due su- 
( r,s ) Per semplicità il punto di contatto potrebbe essere fisso. 
( 5;l ) A prescindere da due piani. 
