Ricerche siti complessi di rette d’ ordine due e della 2" specie dell S, 
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sumeremo come omologo di A, lo spazio tangente O lungo questa generatrice. Ad A, dun- 
que, corrispondono oo 1 spazi tangenti di ( I> (al variare di 2) ; analogamente dicasi per B. 
Gli oo 1 spazi tangenti $ e passanti per la retta ASo {=BS 0 ) , invilupperanno quindi un 
S, - cono spezzato in due sistemi algebrici distinti, e precisamente uno è inviluppato dagli 
spazi tangenti (passanti per ASo e) corrispondenti al punto A, 1' altro dagli spazi tangenti 
(passanti per BS 0 = ASo e) corrispondenti al punto B. Considerando una sezione spaziale 
generica, si vede che la quistione è ridotta alla seguente. 
Data in S 3 una superficie <\> d’ ordine v con una retta r come (v — 2) - pia , conside- 
riamo il cono circoscritto a ^ da un punto generico di r. Questo cono può spezzarsi in 
due ( 49 )P Ora a questa domanda si risponde negativamente. Infatti posto che 'j* abbia 2y2>0 
piani ciascuno contenente una coppia di punti doppi di <|>, il detto cono si dovrebbe spez- 
zare in due coni ognuno d’ ordine v — 1 — y } e dotato della r come generatrice (v — 2 — y) - pia, 
e .inoltre dovrebbero esistere J?v — 3 — 2y generatrici comuni, date da generatrici passanti 
per punti doppi di tj>. Ora due di questi punti non possono giacere in uno stesso piano 
con la retta r, perchè in tal caso questo piano si staccherebbe dai coni in discorso, dun- 
— 4—4y 
que dev’essere 2v — 3 — 2y<s, — , relazione assurda per v^>2. Tutto ciò è conse- 
guenza del fatto che il piano passante per la retta r e per un punto doppio, assorbe due 
dei — 4 piani passanti per r e contenenti coppie di rette di <J> ( 50 ). 
Concludiamo che se $ è un S 0 - cono, e se / è una curva posta in un piano x pas- 
sante per S 0 , non esiste altro complesso (d’ordine due e di 2 a specie) oltre quello stu- 
diato in principio del n° 8. 
39. Sia f una cubica dotata di punto doppio, e indichiamo con x il suo piano. Sic- 
come in ogni spazio passante per x le rette del complesso V devono costituire una con- 
gruenza d’ ordine due , così C I> sarà un’ ipersuperficie tale che ogni spazio passante per x, 
la sechi ulteriormente in una superficie cubica passante per f e dotata di quattro punti 
doppi. Viceversa è chiaro che data una siffatta ipersuperfìcie <I> , rimane individuato un 
complesso d’ ordine due T, tale che ogni sua retta si appoggia ad / e tocca (fuori di 
questa) <I>. Infatti è noto ( 51 ) che le tangenti d’ una superfìcie cubica dotata di quattro 
punti doppi, le quali si appoggino alla curva sezione della superfìcie con un suo piano 
tangente, senza toccare la superficie in tale curva , formano due congruenze una (sola) 
delle quali è d’ordine due. Dunque in ogni spazio passante per x, si avrà una (sola) con- 
gruenza d’ ordine due formata da tangenti di $ incidenti /"; al variare del detto spazio 
questa congruenza genera il complesso T. 
Es : Sia O l’ipersuperficie cubica formata dalle corde di una quartica razionale nor- 
male, ed f sia la sezione di O fatta da un suo piano tangente generico. 
40. Sia T un complesso irriducibile d’ ordine due , generato da corde di una superficie 
(irriducibile) cp tangenti un Sj-cono quadrico O. 
In ciascuno degli oc 1 spazi tangenti di ( I>, le rette del complesso T formeranno una 
congruenza d’ordine lino , e precisamente: 
a) o esse sono corde di una cubica gobba di cp, 
( 49 ) I due coni dovrebbero essere dello stesso ordine, perchè / è irriducibile. 
( 5,) ) Si noti che in un piano siffatto può esistere un altro punto doppio . senza che diminuisca ulterior- 
mente il numero dei piani detti nel testo. , 
( 5I ) MONTESANO, Su due congruenze , 1. c. in ( 6 g 
