Ricerche sui complessi di rette d’ ordine due e della 2 a specie dell’ S 4 
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dotata di cubica gobba doppia; cp t è il cono cubico che proietta questa cubica da S 0 , e <p 2 
una quadrica (non posta in ( I>) passante per una cubica (gobba) di cp t ( 40 ). 
34. Supponiamo, infine, che nessuna delle superfìcie 9,, 9, sia un conodi vertice So; 
sarà 2 2 > t t 2 3 ^ 0 , e quindi v — 3 o ^— 4 . 
Per v 13 3 (e t [ —l, t 2 = 0 ) dobbiamo distinguere due casi, secondo che <I> contiene 
ovvero no infiniti piani. Nel secondo caso affinchè T sia d’ordine due , una delle super- 
fìcie <p lf cp 2 dovrebbe essere un piano. Infatti indichiamo con P un punto generico di ( I> ; 
se 9, non passa per So, la retta PS 0 non incontra 9,, e quindi non appartiene a IL Se 
9.,, invece, passa per S 0 , allora la retta PSo è certamente retta di T, e quindi questo 
complesso sarebbe d’ ordine maggior di due. Se poi ha infiniti piani, uno spazio ^ pas- 
sante per uno qualunque di questi, dovrebbe ulteriormente secare 9 t in una retta (con 
m 2 — / punti sulla curva E 9 2 ), ciò che è assurdo perchè £ seca ulteriormente ( 1> in un 
cono quadrico non degenere. 
Per v = 4 , lo spazio tangente ( I> in un suo punto generico P, seca <p t e 9., lungo 
due curve £9,, II9» tali che delle rette ad esse incidenti e passanti per P, una sola non 
deve appartenere a ^ e inoltre le rimanenti (cioè quelle appartenenti a O) non devono 
essere rette di IL Ora quest’ ultima condizione non è soddisfatta, giacché è t l —t 2 = l’, 
infatti sia A l uno qualunque dei punti in cui la retta PS 0 incontra 9 t fuori di S 0 . La retta 
A t S o siccome incontra anche 9.,, ed è inoltre generatrice del cono (a tre dimensioni) delle 
rette passanti per A t e tangenti altrove <I>, appartiene al complesso IL 
35. Consideriamo infine l’ipotesi che <I> sia un S^cono. Siccome le rette di T sono 
sparse negli oo 1 spazi tangenti di 4>, quest’ ipersuperfìcie sarà un S^cono quadrico, e in 
ciascuno dei detti spazi le rette di T formeranno una congruenza d’ ordine uno. Ne segue 
che 9( (p. es.) è una rigata d’ordine m l avente la retta S 4 per direttrice (m i — 7)-pla. La 
superficie 9,, poi, sarà d’ordine m 2 , e avrà multipla secondo un certo numero m 2 ; 
inoltre detto c l’ordine della curva C= 9* 9.3, questa avrà c — m 2 ~\~ni ' 2 -f- 1 punti sulla 
retta S,. 
Es: in^— 2 , m 2 — 3 , m\ — l, c — 1 . Cioè 9 t è una quadrica passante per la retta 
Sj ; 9, è una rigata cubica normale avente per generatrice; C è una retta (sghemba 
con S L ) generatrice di ambedue le 9,, 9,3. 
Es: m l = 3 , m 2 = 3 , rri 2 —}, c— 1 . Cioè è una rigata cubica gobba avente S, 
per direttrice doppia; 9, è una rigata cubica normale avente per generatrice; C è la 
retta direttrice semplice di 9^ ed è generatrice di 9 2 . 
CAP. II. 
§ L 
36. In questo capitolo vengono assegnati alquanti complessi (irriducibili) d' ordine due 
(e di 2 a specie), non costituiti da tutte le tangenti di un’ipersuperficie <I> , incidenti una 
( 4, Ó Che questi tre complessi siano d’ ordine due, si può direttamente dimostrare come segue. Se M è un 
punto generico deH’S 4 , il cono J/<f 2 seca ulteriormente cp A in una curva/ d’ordine la quale è razionale, perchè 
ogni generatrice di rincontra in un sol punto. Al cono M/ apparterranno le rette di T passanti per J /. e 
questo cono medesimo seca ulteriormente <I> in una curva f . Ogni piano di <I> incontra Mf in m l punti, dei 
quali m v — / appartengono ad/; l’altro punto apparterrà ad./'. Ne segue che/' è razionale, e quindi che V 
è d’ordine due. 
