Ricerche su i compiessi di rette d‘ ordine due e della 2' 1 specie dell’ S 4 
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Se ( I> è d’ ordine v = 2, cioè se è t = 0, cp evidentemente è una rigata cubica nor- 
male. Esaminiamo dunque l’ ipotesi t~2> 0. 
La superfìcie cp non può essere un cono di vertice S u , perchè una sua corda tangente 
<I>, proiettata da So darebbe un piano di cui ogni retta sarebbe anch’ essa corda di cp e 
tangente di 4>, onde T sarebbe d’ordine sero. Ne segue che cp è semplice Iper 4>, cioè è 
t — 1 e v — 4. Lo spazio fi tangente ( I> in un suo punto generico P , seca cp in una curva 
tale che delle sue corde passanti per P, una sola non deve appartenere a <I>, e, inoltre, 
le rimanenti (cioè quelle appartenenti a ( I>) non devono essere rette di IL Ora quest’ ultima 
condizione non è soddisfatta per m'2>4\ infatti sia A uno qualunque dei punti in cui la 
retta PSo incontra cp fuori di So. La retta ASo essendo corda di cp e generatrice del cono 
(a tre dimensioni) delle rette passanti per A e tangenti altrove ( I>, appartiene evidente- 
mente a r. Ne segue che per essere T d’ ordine due , la retta PSo (= NSo) non dovrebbe 
essere corda di cp, cioè So non dovrebbe appartenere a cp, onde questa è monoproiettata 
da So, e di conseguenza essa è d’ordine ni — 4. Ed ora, affinchè sia tale che per un 
suo punto generico passi qualche sua retta che sia corda di cp, questa dev’ essere una ri- 
gata. Viceversa, proiettando da un punto generico So dell’ Si ambiente, una rigata d’ordine 
ni = 4 ed immersa in questo, si ottiene un S 0 -cono ( I> tale che le sue tangenti, le quali 
inoltre sian corde di cp, generano un complesso T d’ordine due. Infatti il cono ( I> è dotato 
di un cono cubico (razionale) doppio, sono soddisfatte le relazioni b) del n- 14, e ogni 
spazio passante per un piano generatore di <I>, seca ulteriormente cp in una cubica gobba ( 31 ). 
§ 3. 
25. Il complesso T, irriducibile e d’ordine due , sia generato da tutte le tangenti di 
un’ ipersuperficie ( I> incidenti due superficie (irriducibili) cp, e cp., non cospaziali. 
Consideriamo primieramente l’ ipotesi che 'o, sia un piano /,-plo per 4>, e cp una su- 
perfìcie d’ordine m 2 / / 2 -pla per ( I>, con t i ^0 e t. 2 0 . 
Per quanto è noto circa le congruenze d’ordine due si hanno i seguenti complessi: 
a) <1> è d’ordine t t t 2 -f- 2, e cp, è una rigata secata ulteriormente in una sola ge- 
neratrice da uno spazio qualunque passante per cp,. 
b) ( I> è un So-cono d ordine -j- 2 avente il vertice So in cp,. La superficie cp, non 
appartiene a 0 (t 2 = 0), è d’ordine m. 2 , ed ha in cp, una curva d’ordine ni avente S 0 
come m\- pio; inoltre S 0 è [nn -f- m\ — tri — /)-plo per cp 2 . 
Es: Sia ni l = ni — 0 onde cp, è un monoide d’ordine m 2 , col punto singolare in 
So, e senza alcuna curva in cp t . 
c) O è d’ordine t l -j- 2 ed ha come doppia una curva secata in un sol punto varia- 
( 3I ) Che il complesso T sia d’ ordine due , si può direttamente dimostrare come segue : Sia P un punto 
generico dell’ S 4 ambiente; le corde di cp passanti per P, formano un cono cubico (razionale) .v, che seca cs in 
una sestica /. Ogni generatrice g di cp è corda di f, perchè il piano Pg incontra ulteriormente cp in due punti, 
e questi congiunti con P, danno due generatrici di ^r. Questo cono, poi, seca ulteriormente <I> in una curva 
/' d’ordine, 3.4 — 6—6, la quale è razionale. Infatti un piano generatore qualunque di ( I», incontra x in tre 
punti, due dei quali sono i due punti in cui la generatrice di cp posta in esso piano, si appoggia ad f. 11 ri- 
manente punto d’incontro appartiene dunque ad/', la quale è quindi razionale, giacché ad un piano genera- 
tore di <I> si può far corrispondere un (sol) punto di essa. Dalla razionalità di /' segue senz’altro che V è 
d’ordine due. 
