Ricerche sui complessi di velie d’ ordine due e della 2" specie dell' S, 
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d’ordine m 4. I piani delle oc 1 coniche di oq ciascuna delle quali contiene due punti 
coniugati della detta gl , generano un’ipersuperficie la quale è d’ordine v- - 4 , ha oq 
come doppia, e passa per la rigata . E invero sia M un punto generico di oq preso un 
punto A di /, esso ha un punto coniugato A' nella gi , e pei punti A' ed M passa una 
(sola) conica di oq , la quale seca f in altri due punti A i e A., (oltre che in A ), punti 
che assumeremo come corrispondenti di A. Viceversa dato il punto A { , per esso e per M 
passa una (sola) conica di oq , la quale seca ulteriormente f in due punti A' e B , ai 
quali son coniugati, nella g \ , due punti A e B. Abbiamo così in / una corrispondenza 
(2, 2) che avrà quattro punti doppi, divisi in due coppie ciascuna delle quali appartiene ad 
una conica passante per Al, e che contiene due puliti coniugati nella gl . Dunque per M 
passano due piani generatori di fi* . cioè oq è doppia per 4>. Che poi 'fi sia d’ordine v = 4, 
segue dall’ osservare che le rette, tracce in uno spazio generico N dei piani di ( 1>, sono 
le congiungenti i punti omologhi di una corrispondenza involutoria (2, 2) esistente (- J ) fra 
i punti della cubica gobba ^ oq ( 30 ). 
20. Sia ora t — 2 e (n° 19) ancora x—1. Vediamo se possono essere verificate le 
(5) del n° 14. 
Se oq è una superficie tripla per siccome le rette dei piani di questa devono es- 
sere unisecanti di oq , la curva di oq posta in un piano generico di <I> , sarà una retta. 
Inoltre giacché uno spazio E condotto genericamente per uno dei piani generatori di ‘fi, 
seca ulteriormente questa in una superficie d’ordine cinque , segue che - secherà ulterior- 
mente oq al più in una retta. Dunque oq o è un piano, ovvero è una quadrica. Nel pri- 
mo caso uno spazio condotto genericamente per oq , seca ulteriormente l’ipersuperficie (ir- 
riducibile) <I>, in tre piani generatori, e ciò è assurdo perchè le tre generatrici di poste 
in questi piani, passerebbero per uno stesso punto ( 31 ). Se poi oq fosse una quadrica, un 
piano generatore generico " di ( fi, avrebbe per traccia in essa una retta la quale incon- 
trerebbe la quartica cp oq o in un punto, o in due punti, o in tre. Nel primo caso oq sa- 
rebbe semplice per <I> ; nel secondo sarebbe doppia ; nel terzo sarebbe tripla, ma siccome 
i due punti staccati "cp sarebbero (costantemente) sulla curva <poq , segue che cp sarebbe 
semplice e non doppia per ( I>. Concludiamo dunque che $ non ha una superficie tripla. 
Nè può avere una oq, o due superficie doppie oq, oq, secondo le b) e d) delle (5) del 
n° 14. Infatti in tal caso uno spazio generico N seca ( I> in una rigata N<I> d’ordine sei, 
la cui generatrice generica incontra, quindi, in 6 — 2=4 punti la curva doppia di N<I>. Ne 
segue, essendo x = l, che una retta generica di uno generico dei piani di <Iq incontra in 
tre punti la superficie doppia distinta da cp, e non in due come richiedono le sopradette 
formule (5). 
fi 9 ) Infatti si è dimostrato che o>, è doppia per <I>. 
( 30 ) Che il complesso T sia d’ordine due, in entrambe le ipotesi i a e 2 a di questo n° 19, si può diret- 
tamente dimostrare come segue. — il cono cubico (razionale) x delle corde di cp passanti per un punto generico 
dell’ S4 ambiente, seca cp in una curva f d’ ordine sei, della quale son corde le generatrici di cp ; e seca ulte- 
riormente <I> in un’altra sestica /'. Un piano generatore " di <I>. seca z in tre punti, due dei quali sono i due 
punti in cui la generatrice di cp posta in ", si appoggia alla sestica /; 1’ altro punto appartiene dunque ad/. 
Ne segue che ad un piano generatore di <I\ si può far corrispondere un (sol) punto della curva /', la quale 
quindi è razionale. Se ne deduce senz’altro che Y è d’ ordine due. 
( 31 ) Siccome cp dev’essere doppia per <I\ ciascuna delle dette tre sue generatrici appartiene a due dei tre 
piani generatori. 
