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Giuseppe Mariella 
Memoria 1.] 
Indicando con x ,1 piano di <I> passante per un punto generico P di questa, osservia- 
mo che uno spazio - condotto genericamente per x, seca ulteriormente ( I> m una rigata p 
d’ordine 2t-\- 1 , e 9 in una certa curva r che è /-pia per p, mentre la curva 9" è (, t — t )- 
pia per p. 
Siccome per P non passa ( 3 “) alcuna retta di <I\ die sia fuori di it, e dovendo il 
complesso I essere d’ordine due, la curva > sarà o una cubica gobba, o una coppia di 
rette sghembe. 
Indichiamo con x l’ordine della curva cp“. 
19. Sia x = 1: 9 è ( 27 ) una rigata razionale d’ordine in— 4, e quindi la retta cpr: e 
la cubica gobba r hanno un sol punto comune. Dobbiamo 01 a distingueie due casi secondo 
(n° 12) che è t — 1 ovvero 1—2. 
Sia t — l\ per le formule (5) del n° 14-, sono da esaminare le tre ipotesi: 
l a ) ( 1 > ha un piano triplo ; 
2 a ) <l> ha una rigata cubica normale u > 1 come doppia; 
3 a ) < 1 > ha due piani sghembi doppi. 
Quest’ ultima si esclude subito, perchè <I> sarebbe un So-cono, ipotesi che sarà consi- 
derata in seguito. 
a) La l a ipotesi dà un complesso (d’ordine due) effettivamente esistente. Infatti data 
una rigata razionale <p d’ ordine ni — 4, sia q una cubica piana di essa, e nel piano di q si 
assegni ( 2S ) un inviluppo razionale ! di rette, d’ indice Ire , con queste in corrispondenza 
biunivoca e prospettiva coi punti di q. Uno spazio condotto genericamente per q, seca ul- 
teriormente cp in una generatrice la quale insieme con la retta di 7 omologa del punto 
gq, individua un piano ; questo piano al variare di — genera un’ ipersuperficie che è 
d’ordine v — 4, perchè per un punto del piano di q passano tre piani generatori di C I>, 
onde questo piano è triplo per ( Ib 
b) Anche la 2 a ipotesi dà un complesso effettivamente esistente. Sia infatti f una 
quintica razionale immersa nell’ Sfi ambiente e dotata di punto doppio E = F. Le con- 
giungenti i punti coniugati di un' ordinaria involuzione di /, nella quale siano coniugati E 
ed F, generano una rigata cubica normale oq , mentre le congiungenti i punti coniugati di 
una .gi di f, nella quale non siano coniugati E ed F, generano una rigata razionale 9 
< '*’) Se un' ipersuperficie (]> è tale che per ogni suo punto passi un suo piano e una ( almeno ) sua retta 
fuori di questo, <I> è d’ordine '> — j. Infatti uno spazio - condotto per un piano ~ di ‘I\ contiene una rigata 
[j di questa, della quale la generatrice generica non appartiene ad alcun piano di <I>. Inoltre siccome le gene- 
ratrici di p son tutte incontrate da tutti i piani di <I>, segue che tre generici di questi saranno secati da - in 
tre rette sghembe a due a due) le quali saranno direttrici di p, onde questa rigata è una quadrica. Ad essa, 
poi. appartengono tute le rette tracce in 2 di tutti i piani generatori di <I>. Concludiamo dunque che <I> è d'or- 
dine v - - / -f- 2 ~j. Altrimenti : La rigata p é una quadrica perchè ammette due sistemi di rette, e pre- 
cisamente quello detto in principio, e quello delle tracce in 2 dei piani di <I>. 
('2 Non P * l, ò essere / una coppia di rette sghembe, perchè in tal caso 'f sarebbe una rigata cubica nor- 
male, e ogni piano generatore di ‘I’ conterrebbe una retta direttrice di ciò che è assurdo (perché <I> non è 
per ipotesi un .s r cono). 
1 un P' an0 s ’ stabilisca una corrispondenza biunivoca fra le rette di un fasci^ e quelle di un invi- 
luppo (razionale) d’ indice tre, in modo che delle tre rette di questo passanti per il centro del fascio, una 
corrisponda a sè stessa. Il luogo del punto comune a due rette omologhe, è una quartica con punto triplo 
nel centro del fascio. Siccome, poi, di questa quartica si stacca la retta tautologa sopradetta, rimane una cu- 
bica con punto doppio, avente i punti in corrispondenza biunivoca e prospettiva con le rette dell'inviluppo. 
