Ricerche sui complessi di velie d' ordine due e dello 2" specie dell' Si 
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d’ordine m > 7, mentre una curva gobba / di siffatto ordine, è sempre dotata di h2> c 
punti doppi apparenti. Concludiamo dunque che hi- 2, e quindi cp 1 intersezione di due 
iperquadriche. 
Non possono verificarsi le c ) delle (5) del n° 14, perchè a ( I> apparterrebbero le co 3 
corde di cp incidenti la superfìcie oq. Supponiamo dunque che sian verificate, p. es., le b ) 
delle (5), e indichiamo con c l’ordine della curva C = cpoq. Le corde di cp passanti per un 
punto generico R di oq , formano un cono quadrico che ha 2(. s i — /) generatrici comuni 
col cono Riu l , e di queste generatrici c passeranno per i c punti tracce della curva C 
nello spazio di questo cono quadrico. Or siccome oq è doppia per <Iq per R passano due 
(sole) generatrici di ( E>, e quindi sarà 2 (.sq — /) — c — 2, cioè c — 2s y — 4. E allora una 
generica delle oo 1 iperquadriche passanti per cp, seca ulteriormente w, in una curva d’or- 
dine 2 . sq — c = 4, la quale dovrebbe essere doppia per la superficie del quarto ordine ul- 
teriore intersezione di ( I> con Q, ciò che è assurdo (perchè questa superficie è immersa 
nell’ S 4 ). In modo analogo si ragiona per escludere che siano verificate le formule dj delle (5). 
Da quanto si è detto in questo n°, deduciamo che è da escludete la 2 a ipotesi del n° 15. 
17. Consideriamo ora la 3 a ipotesi del n° 15. Siccome la superficie cp ammette oc 3 
trisecanti (propriamente dette), è (n° 12 ) / 2 ?. 
Per 1=0 $ è un’ iperquadrica e cp . quindi, una rigata cubica normale; si ricade cioè 
nel complesso dato nel n. 15. 
Il caso / — /si esclude subito, perchè dovendo essere soddisfatte le (5) del n° 14, 
l’ipersuperficie ( I>, che è d’ordine v— 4 , avrebbe infiniti piani, e questa ipotesi sarà con- 
siderata nel n 3 seguente. 
Sia, infine, t — 2 , onde ( I> è d’ordine v — 6. Supponiamo primieramente che sia 
1 — 2 , onde ha qualche altra superficie doppia co, . Allora le corde di cp passanti per 
un punto generico D di oq , formeranno un cono x d’ordine //, essendo h il numero dei 
punti doppi apparenti della sezione spaziale di cp. Ciò posto pei - D (punto doppio di O) o 
passeranno infinite rette di che siano corde di cp, ovvero passeranno 2x (n° 15) di sif- 
fatte rette. La prima ipotesi è da escludere, perchè al variare di D su w, , si avrebbero 
oo 3 rette, ipotesi che sarà considerata nel n° seguente. Osserviamo ora che il cono X se- 
ca O nella curva (contata due volte) d’ordine 2// luogo dei punti di appoggio delle corde 
di cp passanti per D , e nelle 2x rette sopradette, perchè ogni generatrice di x che incon- 
tri ( I> in un punto fuori di cp, e distinto da D , ha in comune con <I> sette punti. Dunque 
abbiamo 6 li — 4 li -f- 2x . da cui si deduce h = t, e ciò è assurdo perchè dovendo il com- 
plesso r essere d’ordine due è (n° 13) ~ — h — /. Con ragionamenti analoghi poi si e- 
sclude che possa essere 1 — 3 o 1 — 4 ( 24 ). Concludiamo dunque che è anche da esclu- 
dere la 3 a ipotesi del n° 15. 
18. Supponiamo infine che per un punto generico di ( I> passino infinite rette di que- 
sta ipersuperfìcie, le quali sian corde di cp, onde ( 2i) ) <I> avrà infiniti piani. 
delle curve c, formano una congruenza y, la quale non è costituita totalmente da piani rigati, visto che per 
un punto generico di c\ devono passare x 1 sue rette. Ne segue che y ha due curve singolari, e precisamente 
la Ci e 1 ’ ulteriore intersezione di 2 con <p ; di conseguenza una retta generica di y incontra cp in due punti 
soltanto, e ciò è quanto dire che le curve c sono coniche, onde cp è proiezione della superfìcie di VERONESE. 
Del resto questo teorema è conseguenza di un altro noto di KRONECKER-CASTEI.Nl'OVO. 
C 24 ) Per la ( 3 ) del n° 14 è / <C 4 . 
( 2 '’) SEVERI, Intorno ai punti doppi impropri di una superficie generate detto spazio a quattro dimen- 
sioni , e a' suoi punti tripli apparenti [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo XV ( 1901 )] n. io. 
ATTI ACC. SERIE V, VOI.. VI. Mem. I. 
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