Ricerche sui complessi di rette d' ordine due e della L specie dell’ S, 4 
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Viceversa sia O una siffatta ( 13 ) ipersuperficie ; se / è una curva (razionale) d ordine 
jx per la quale siano (|i — /^secanti le coniche di c p, allora le rette incidenti f e tangenti 
altrove 0, generano un complesso F che è (n 1 4 e 2) d’ ordine due ( u ). 
8. Sia ora un So-cono d’ ordine / -{- 2 , avente la curva f come /-pia. 
a) Se f è in un piano % passante per So , siccome per ipotesi è irriducibile il com- 
plesso delle tangenti di O incidenti /, così per quanto è noto circa le congruenze d ordine 
due , / sarà d’ ordine jx col punto S 0 come (jx — /)-plo, e r. sarà un piano /-pio per ( I>. 
Se invece f non è in un piano passante per So , allora siccome le oc 4 corde del cono 
So f non appartengono a <I>, sarà 2t / -f- 2. cioè t<L2. 
Per / — 0 si ricadrebbe nel caso precedente. 
Per t — l ( I> è un So-cono cubico. Lo spazio tangente ( I> in un suo punto generico 
P, seca / in |x — jx' punti fuori di S 0 , indicando con |x' la multiplicità di S 0 per /. Di que- 
sti jx — \2 punti è necessario che |x — jx 7 — / siano congiunti a P da l’ette di < I>. Ne segue, 
per jx — jx ' — 1 2> 0, che ( I> ha oc 1 piani (tutti incidenti un piano doppio co e un piano sem- 
plice). In ciascuno di questi oo 1 piani, la curva f deve avere, oltre di S 0 , |x— |i — 1 punti; 
dunque ( 1D ) è 2 (|x — |x 7 — 1) -j- jx' ;x, cioè ;x — \y ^ 2. 
Per |x 7 = |x — i f sarebbe in un piano passante per S 0 , onde si avrebbe un com- 
plesso considerato. 
b) L’ipotesi [).' — jj. — 2, dà un complesso d’ordine due infatti se ( I> è un S 0 -cono 
cubico dotato di piano doppio co, ed f è una sua curva (gobba) d’ ordine jx con S 0 come 
(|j. — 2) pio, allora le rette incidenti f e tangenti, altrove, 4> , generano ( 16 ) un complesso 
F d’ ordine due. 
9. Per t ~2 <I> è un S 0 - cono d'ordine v~4, dotato di una curva doppia f. Per quanto 
è noto circa le rigate ( 1 ' ) gobbe d’ordine quattro , dobbiamo esaminare le due ipotesi seguenti: 
a) f ha il punto S 0 come (jx — i?)-plo, e <I>, oltre di avere come doppio il cono S 0 f, 
é dotato di un piano doppio nel quale giace un punto di f distinto da S 0 . 
( 13 ) In generale per costruire un’ ipersuperficie < 1 » d’ ordine 2t con una rigata cubica normale /-pia, basta 
assegnare una corrispondenza involutoria i /, /) fra i punti di una sezione spaziale generica .v di una rigata 
cubica normale ©. Allora gli oc 1 piani delle oc 1 coniche di ciascuna passante per due punti corrispondenti, 
generano l’ipersuperficie <b richiesta. Infatti ragionando in modo analogo a come si fece nella nota f 12 ), si 
dimostra che un punto generico M di •?, è /-pio per Inoltre lo spazio di 5 seca ( I’ (soltanto) nella rigata 
d’ordine 2/ generata dalle rette congiungenti i punti omologhi della corrispondenza involutoria (/, /) assegnata 
in principio. — Procedendo in modo analogo sopra una superficie ® d’ordine m — 4. che sia proiezione di 
quella di Veronese, si viene a costruire un’ ipersuperfìcie d’ ordine j/ con ® /-pia. 
( ll ) Che I’ sia d’ordine due , si può direttamente dimostrare nel seguente modo. 
Sia Ti un piano generatore qualunque di O. e P un punto generico dell’ Sj. Lo spazio /’tì: seca ([> nel piano 
-, e in una rigata cubica di cui indichiamo con d la direttrice doppia. Nel detto spazio esistono ;x punti di 
/, e precisamente |x — 1 nella conica <c ®, ed uno A' nella retta d ; la retta PN, poi, seca (|> ulteriormente in 
due punti, uno (solo) dei quali giace in Dunque al piano generatore " si può far corrispondere un punto 
della curva f' ulteriore intersezione di ( 1 > col cono Pf. Ma i piani di costituiscono un ente razionale, dun- 
que f' è una curva razionale, e di conseguenza il complesso f è d’ ordine due. 
( 15 ) Basta considerare, p. es, due cospaziali di questi x 1 piani. 
( ir> ) Che I’ sia d’ordine due si può direttamente dimostrare come segue. - Se P è un punto generico 
dell’ S it il cono Pf seca ulteriormente ( 1 > in una curva/ 7 d’ordine 2ix, per la quale S 0 è multiplo secondo 
2jx — 4. Inoltre il piano doppio w seca //in u punti, dei quali |x — 1 = (u. — 2) -f- 1 giacciono in f, mentre 
il rimanente è doppio per f'. Ne segue che f' è razionale, e che quindi F è d’ ordine due. 
( l7 j 11 cono 0 possiede x 1 piani, perchè dei jx — ix 7 punti nei quali / è secata da uno spazio tangente 
generico, u. — jx' — 1 (> o) devono (n° 2) essere congiunti al punto di contatto da rette di <1>. 
