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Giuseppe Marletta 
[Memoria I.] 
Per t — 2 < 1> è un’ipersuperfìcie d’ordine v — 4, la quale, per le medesime (1 ), pos- 
siede o un piano doppio, o una quadrica doppia, o infine una rigata cubica normale doppia, 
la quale può degenerare in un piano e una quadrica aventi (soltanto) una ietta comune. 
Consideriamo primieramente 1’ ipotesi che f sia una curva gobba ; allora si hanno i 
seguenti complessi. 
a) 0) è d’ordine v = 3, ed ha un piano doppio oq . La curva / è d’ordine |i, ed ha 
un (sol) punto comune col piano «i . 
b) è d'ordine v ~ 4, ed ha come doppi un piano co, e una quadrica oq . La curva 
f è d’ ordine |q giace su oq , ed ha un sol punto in oq . 
Che questi due complessi F siano d’ ordine due , si può direttamente dimostrare nel 
seguente modo. 
Dato il complesso a), sia P un punto generico dell’ S 4 ambiente; il cono Pf seca 
ulteriormente in una curva f d' ordine 2\y con jj. — 1 punti doppi nei punti in cui il 
piano co 1 incontra il cono Pf fuori di /. Ne segue che /' é razionale, perchè ha in oq 
|Jt — 1 punti doppi oltre del punto / oq , e che quindi 1' è d’ ordine due. 
Dato il complesso b), sia P un punto generico dell’ S 4 ambiente; il cono Pf seca 
ulteriormente <t> in una curva/' d’ordine 2\*. con p. — 1 punti doppi nei punti in cui il 
piano oq incontra il cono Pf fuori di / Or siccome la curva f non ha in oq alcun al- 
tro punto, oltre di questi, segue che essa possiede due g \ , le quali hanno una coppia di 
punti coniugati in comune, e precisamente quella dei due punti posti nella retta che da P 
proietta il punto /oq . Se ne deduce la razionalità della curva/', e quindi L è d’ordine due. 
Per \>. = 3 oltre dei due complessi a) e b), ne esiste un altro di cui per ora non par- 
liamo, perchè esso si dedurrà facendo p. z= 3 nel n° seguente. 
7. Sia ora / una curva immersa nell’ S 4 ; allora per quanto si disse in principio del 
n° precedente, 0 è dotata di oc * 1 piani, in ognuno dei quali / avrà (n° 2 ) |jl — 1 punti. 
Ne segue che siccome, per ipotesi, <I> non è un S 0 - cono quadrico, la curva / giace ( 10 ) 
sopra una rigata cubica normale cp, le coniche della quale sono (p. — /-secanti/ ( u ). 
Ciò posto consideriamo una sezione spaziale generica 5 di cp, e chiamiamo corrispon- 
denti due punti di essa, ogni qual volta per essi passi uno stesso degli oo 1 piani di <I>. 
Siccome / è /-pia (con t—1,2) per 4q si avrà sulla curva s una corrispondenza involu- 
toria (/, /), e le rette congiungenti i punti omologhi di questa, generano una rigata gobba 
d’ ordine 2t. la quale è la traccia totale di <I> nello spazio di s. Ma ( I> è d’ ordine / -j- 2, 
dunque sarà 1 — 2 , cioè l’ipersuperficie ( L è d’ordine v-z —4, ed ha come doppia ( 12 ) la 
rigata cubica normale cp. 
( l0 ) Vedi il mio lavoro Contributo atta teoria delle carré razionali, nota al il 0 3 del cap. II. [Rendi- 
conti del Circolo Matematico di Palermo, tomo XXI (1906)]. 
( u ) Per |j. 4, se < 1 > fosse d’ordine v =.?, con oq doppio, i piani di < 1 > secherebbero su / una .el. 
e ciò è assurdo, perchè i piani dei gruppi di una siffatta serie lineare esistente sopra una quartica razionale 
normale, generano un ,S' 0 — cono quadrico. 
1 u ) Che 'f sia doppia per ( I> si dimostra come segue. — Sia M un punto generico di <p; preso un punto 
. / di s, ad esso corrispondono due punti di .? ; per ciascuno di questi e per M passa una conica che seca 
ulteriormente s in un altro punto A', che assumeremo come corrispondente di A. Viceversa per A' ed M 
passa una sola conica, che seca ulteriormente .v in un punto al quale corrispondono (per la corrispondenza 
(2, 2)) due punti uno dei quali è A. Si ottiene così fra i punti di s un’altra corrispondenza (2,2) che ha 
quattro punti uniti; due danno una conica di cp passante per .U e il cui piano è piano di <l>. e cosi pure gli 
altri due punti uniti. Dunque per M passano due piani di <|>, cioè .1/ è doppio per *I>. 
