3 
Ricerche sui complessi di rette d’ ordine due e della 2" specie dell S 4 
multipla secondo 
a — p = 2 — 2 X b {fi — /) ; 
onde se r non deve appartenere al complesso F, è necessario e sufficiente che sia a — P = 0, 
cioè : 
(1) • I = s lb{0-1). 
Da questa eguaglianza si deducono senz’ altro ( 5 ) le seguenti : 
I « = /. l h = A { K = 2 
ì U > /, \ = /, fi, = 2, 6 2 = = ha = <?■ 
5. Se / è una curva piana, allora le rette di T poste in uno spazio qualunque pas- 
sante per essa, formeranno una congruenza d’ordine due. Ne segue, per quanto è noto ( G ) 
circa le congruenze di 2° ordine, che sarà certamente jc = 2, cioè f sarà una conica. In 
quanto poi all'ipersuperfìcie avremo: 
a) <D è ulteriormente secata da ogni spazio passante per /, in un cono quadrico 
avente per vertice un punto variabile (') di f ( 8 ). 
b ) <I> è d’ordine t -j- 2 con t<L3\ essa ha una conica t — pia/, non posta in un 
piano t — pio, e un piano doppio io, avente con f un sol punto comune. 
È (n° 4) « = /, b L = p fi, = 2 (°). 
c) 0 è d’ ordine t 2 con t 2> 3 ; essa ha una conica t — pia f, non posta in un 
piano t — pio, e un piano doppio u>, avente con f un sol punto comune, oltre del piano 
co 2 di f che è (/ — 2) - pio o (t — /) - pio per 
Si ha : u — 2, b t = /, fi, = 2, b 2 = 0, h — t -- 2 ( 9 ). 
d) è d’ordine ed ha come doppia una rigata cubica normale or,;/ è una 
conica di questa. 
E u — 1, b l =l,0 l =2 ( 9 ). 
6. Sia ora / una curva non piana, e (n° 1) quindi t — l ovvero t~2. 
Per t — l 0 è un'ipersuperfìcie cubica, dotata di piano doppio in virtù delle (F) del 
n° 4. 
( 5 ) SI noti però che queste relazioni non bastano affinchè I’ sia d’ordine due ; esse devono essere accom- 
pagnate dal fatto che per un punto generico di 0 passino u. — / rette come r. È da notare, ancora, che le 
formule trovate sono valide pure per complessi d’ ordine 3 > 2, ma sempre nell’ ipotesi che sia d’ordine 
v = t + 2 , e abbia la curva / come /-pia. 
Oltre dei noti lavori di KUMMER, di STURM, di SCHUMACHER, vedi AtONTESANO, Su una congruenza 
di rette di 2° ordine e di classe [Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino, voi XXVII (1892)] , e 
Su due congruenze di rette di 2° ordine e di < 5 a classe [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, voi. I, 
2 0 sem., serie 5 a (1892). 
( , ) Questo punto potrebbe essere fisso, ma in tal caso si otterrebbe un complesso che si troverà più 
tardi, supponendo che l’ipersuperficie 0 sia un .So -cono. 
( 8 ) Per costruire un’ipersuperficie 0 siffatta, basta stabilire una corrispondenza (/, /) fra gli spazi pas- 
santi per /, e i coni di un sistema x 1 (razionale) di So — coni quadrici, ciascuno avente il vertice (variabile) 
su /. L’ ipersuperficie 0 sarà il luogo del cono quadrico (ordinario) comune a due elementi corrispondenti. 
( 9 ) Basta considerare uno spazio genericamente condotto per /, per dimostrare che il complesso T è 
d’ ordine due. 
