Memoria V 
Sul postulato di Zermelo e la teoria dei limiti delle funzioni 
Nota di MICHELE CIPOLLA 
Non è da recente che in varie ricerche sulla teoria degl’ insiemi si ammette, quasi 
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sempre tacitamente, la possibilità, per qualsivoglia classe d’ insiemi, di estrarre da ciascun 
insieme un elemento per comporre un nuovo insieme. In termini più precisi ciò equivale 
ad ammettere la proposizione seguente : 
I. Per ogni classe N ii insiemi S esiste una relazione che fa corrispondere 
ciascun S ad un solo elemento di S. 
Una tale relazione si suole chiamare selettiva e all’ insieme che essa determina (il 
dominio della relazione), si dà il nome di selezione della classe data. 
Forse perchè è ovvia l’ esistenza di selezioni delle classi d’insiemi più comuni (in- 
siemi finiti, insiemi limitati chiusi ,... ), forse anche perchè l’idea generale d’insieme si 
presenta un po’ vaga e indeterminata, non si è rilevato dai più che l’affermazione dell’esi- 
stenza di una selezione è, nel caso generale, una proposizione tutt’ altro che evidente ( * 1 II. ). 
Gli studi critici sulla teoria degl’ insiemi dal punto di vista di Cantor hanno messo 
in luce, in varie questioni, 1’ opportunità di esplicitamente enunciare quella proposizione, e 
poiché sono riusciti vani i tentativi per dimostrarla, si è imposta la necessità di assumerla 
come postulato o come nuova ipotesi da farsi sulla classe che si considera. Così han fatto 
per es. Whitehead e Russell ( 2 ) per potere definire, in modo generale, il prodotto dei nu- 
meri cardinali, finiti o transfiniti. 
E notevole poi che ammettere in generale 1’ esistenza della relazione selettiva vale 
quanto ammettere che per ogni insieme esista una relazione d’ ordine, in virtù della quale 
l’insieme sia ben ordinato (Cantor), cioè l’insieme ed ogni sua parte abbiano un primo 
elemento. 
Infatti Zermelo ha dimostrato ( 3 ) che se è sempre valida la prop. : 
II. Dato un insieme qualunque Q, ad ogni insieme contenuto in esso si può 
fare corrispondere uno dei suoi elementi, 
(*) Questa prop. è tacitamente ammessa da BOLZANO (Rein analytischer Beiveis.., Prag 1817), da CAU- 
CHY ( Analyse algébrique , Paris. 1821, note 3 — Oeuvres , s. 2, t. 3, p. 378), da WEIERSTRASS (Math. 
Ann.. Bd. 23. p. 455), e da vari Matematici più recenti (v. piu sotto). Sull’ uso illecito della prop. suddetta 
hanno scritto PEANO (Malli. Ann.. Bd. 37, p. 210; Revista de Math., t. 8, p. 143), JOURDAIN ( Quarlerly 
Journal 1907, p. 352, ZERAtELO (Math. Ann., t. 65, a. 1908, p. in): B. LEVI (Ann. Mat.. a. 1908, 
s. 3, t. 45. P- 187). 
(*) WHITEHEAD a. RUSSELL, Principia Mathematica, Cambridge, v. I, 1910. p. 503, e v. 11 . 1912. 
p. 105. 
( s ) v. nota (')■ 
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