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Michele Cipolla 
[Memoria V.\ 
allora si deduce che 
IH. Ogni insieme può esse?' e ben ordì? iato. 
Orbene la prop. Il di Zermelo , che a prima vista può sembrare un caso particolare 
del postulato d’ esistenza della relazione selettiva (prop. I), è invece equivalente a questo, 
come han dimostrato Russell e Whitehead ( 4 ). 
Non sembra quindi ingiustificato il dubbio che il postulato di Zermelo (o d’esistenza 
della relazione selettiva) venga a limitare la nozione di classe. E quindi, nel timore che 
con tal postulato si possa ledere la generalità o, ciò che sarebbe assai più grave, si ven- 
ga, in qualche caso particolare, ad attribuire alle classi che si considerano, proprietà con- 
tradittorie, il miglior consiglio è di cercarne di evitare 1’ applicazione. 
Nella teoria dei limiti delle funzioni, seguendo per es. i metodi del Dini o del Peano, 
il postulato d’ esistenza della relazione selettiva è, senza dubbio, evitato, e non vi è nulla 
da obbiettare a tali metodi per la generalità dei risultati e il rigore delle dimostrazioni. 
Se non che la teoria stessa viene ad acquistare una maggiore semplicità ed eleganza 
quando si pone, a suo fondamento, il postulato suddetto, potendosi così riattaccare la teo- 
ria dei limiti delle funzioni a quella delle successioni numeriche. E il metodo riesce tal- 
mente suggestivo che di esso si trovano profonde traode in opere pregevoli di Analisi in- 
finitesimale, quali, per es., quelle di Jordan, Arzelà, Bagnerà ,... . 
La proposizione fondamentale di questo metodo è la seguente : 
Se un insieme ammette un valor limite , si può dall' insieme staccare una suc- 
cessione che tenda a quel valor limite ( 5 ). 
Orbene, quando si definisce come valore limite di un insieme un numero tale che 
ogni intorno che lo racchiude, contenga quanti si vogliono numeri dell’ insieme, allora la 
pi'Op. enunciata non può dimostrarsi senza far uso del postulato di Zermelo. 
Come pure, se la prop. stessa si assume (come fa, p. es., il Jordan ( 6 ) ) a defini- 
zione di valore limite di un insieme , allora non si può dimostrare che un insieme denso 
in un intervallo ha un valore limite nell’ intervallo, senza ricorrere a quel postulato. 
Ed ancora : non può farsi a meno del postulato per dimostrare che una funzione de- 
finita in un intervallo è continua in un punto a dell’ intervallo (secondo la def. di Weie- 
strass , adottata dal Dini e da altri) allora e soltanto quando per qualsivoglia successione 
convergente ad a di numeri dell' intervallo, la successione dei corrispondenti valori della 
funzione converge al valore che la funzione prende nel punto a ( 7 ). 
•Scopo della presente Nota è di mostrare come, estendendo la nozione di valor limite 
ad una classe d’ insiemi nonché le proposizioni fondamentali sulle successioni numeriche 
alle successioni d’insiemi, si possa, senza far uso del postulato d’esistenza della relazio- 
ni op. cit. V. i, pag. 566. 
( ) L uso sistematico di questa prop. si trova nelle Lezioni di Calcolo infinitesimale di G. BAGNERÀ 
il.it. Longo, Palermo, 1909-910) e conferisce a quest’ opera cosi pregevole 1 ’ eleganza e la semplicità cui ci 
siamo qui, in vari punti, ispirati. 
( ) Cours d’Analyse, t. I, 2 e ed., 1893, p. 19. 
(‘) L equivalenza delle due definizioni è invece senz’altro affermata nell’ art. sui principi fondamentali 
della teoria delle funzioni, di Pringsheim-MOLK, nell’Enciclopedia di Mat. (v. ed. francese, t. 11 . voi. I, 
parte I, nota 108). 
