Sul postillato di Zennelo e la teoria dei limiti delle funzioni 
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ne selettiva, conservare alla teoria dei limiti delle funzioni quella semplicità ed eleganza 
che quel postulato consente, restando sempre il vantaggio della possibilità di collegare 
quella teoria anziché alla teoria degl’insiemi ordinati (che può omettersi), all’altra più sem- 
plice delle successioni. 
1. Valori limiti di una classe d' insiemi. — Noi diremo che il numero x 0 è va- 
lore limite di una classe E d’ insiemi X se per ogni intorno che racchiude x 0 , esistono 
quanti si vogliono insiemi X, ciascuno dei quali ha un elemento almeno in quell’ intorno. 
E diremo che una classe E d’ insiemi è densa in un intervallo (a, b ) se esistono 
quantisivogliano insiemi X della classe E, che hanno elementi in ( a , b). Evidentemente : 
se un punto x 0 di (a, b) è valore limite di E , allora la classe E è densa in ( a , b). Inver- 
samente : 
1, Se la classe E d' insiemi è densa in (a, b), esiste in (a, b) un valor limite 
di E. 
Infatti, se a non è un valor limite di E, esistono punti X di {a, b) tali che in {a, x) 
la classe S non è densa. L’estremo superiore x 0 di detti punti x non supera b , ed è ma- 
nifestamente un valor limite di E. 
2. Successioni d’ insiemi. — Diremo che una successione d’ insiemi (esistenti) 
è convergente al numero x 0 , che si chiamerà il limite della successione, se, per ogni 
numero positivo s , esiste un numero naturale v tale che, essendo n un indice qualunque 
maggiore di v, l’insieme X„ sia contenuto nell’intervallo (x 0 — s, .r 0 -j-s), cioè si abbia: 
I X 0 -Di | c ? 
qualunque sia 1’ elemento x n di À„ . 
In modo analogo al noto criterio (di Cauchy) di convergenza di una successione di 
numeri, si stabilisce la prop. : 
I. Condizione necessaria e sufficiente perchè una successione d' insieme : 
XX X 
sia convergente , è che ad ogni numero positivo e corrisponda un indice v tale che, 
per qualsivoglia coppia di indici p, q maggiori di v, e qualunque sia V elemento 
x p di Xp e x,, di X,, , si abbia : 
I x p - x,j | < s. 
Fra le prop. che sono facili estensioni di note proprietà delle successioni numeriche 
convergenti, notiamo la seguente : 
II. Se la successione d' insiemi 
