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Michele Cipolla 
[Memoria V.) 
insieme X, si dice che x è una variabile indipendente in X. Dicendo che x descrive o 
percorre una successione (di numeri o d insiemi) non s intende espiimeie altio che .\ 
può assumere qualsivoglia valore pertinente ai termini della successione. Se questa con- 
verge a x 0 o diverge, si dice che x converge a x 0 o diverge rispettivamente (nella succes- 
sione). E se x può descrivere qualunque successione convergente a x 0 (o divergente) si 
dice, brevemente, che x può comunque convergere a x 0 (divergere). 
Alle variabili si estendono immediatamente le nozioni e le proposizioni relative alla 
teoria delle successioni. 
Il concetto di funzione può ricondursi a quello di relazione uniforme. Se f è una 
relazione uniforme avente per dominio 1’ insieme X, e per codominio 1’ insieme Y, ed a 
è un valore di À r , con fa e, più comunemente, con f (a), si suole denotare il valore di 
Y, che corrisponde ad a per la relazione f. 
In armonia a questa notazione, se x è simbolo di variabile indipendente in X con fx 
o con f{x) si suole denotare la variabile che per ogni valore a di x in X assume il va- 
lore f{a) di Y. 
Alla variabile f(x) si dà il nome di funzione della variabile x, definita in X , o 
semplicemente il nome di funzione di x in X. 
Se x 0 è un valore limite di X, e se per qualsivoglia successione d’insiemi di valori 
di x in X, convergente a x 0 , la successione degl’ insiemi dei corrispondenti valori di f(x) 
converge ad un numero X o diverge, noi diremo brevemente che f (x) converge a X o 
diverge , comunque x tenda a x 0 (in X). 
Se X non è limitato , e se per qualsivoglia successione divergente d’ insiemi conte- 
nuti in X la successione degl’ insiemi dei valori corrispondenti di f(x) converge a X o 
diverge, noi diremo semplicemente che f(x) converge a X o diverge , rispettivamente, 
comunque x diverga {in X). 
Queste definizioni equivalgono alle definizioni comuni di convergenza o divergenza di 
una funzione, come risulta dalle seguenti proposizioni : 
I. Se I (x) è una funzione di x in X, e x 0 *e un valore limite di X, condizione 
necessaria e sufficiente perchè f (x) converga a X comunque x tenda a x 0 , è che ad 
ogni numero positivo £ corrisponda un numero positivo 5 tale che , per tutti i va- 
lori di X appartenenti all' intervallo (x 0 — S, x 0 -j- S) i corrispondenti valori di f (x) 
appartengano all' intervallo (k — s , X -J- s). 
La condizione è necessaria. Infatti, sia 
una successione di numeri positivi, decrescente e convergente a zero. Se per ogni esi- 
stessero punti x n di X contenuti in ( x 0 — & #l , x 0 -\-ì n ), pei quali fosse 
(') I f(x„) - l | Ss, 
denotando con A\, l'insieme di siffatti punti, la successione 
