Sul postulato di Zermelo e la teoria dei limiti delle funzioni 
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sarebbe convergente a x 0 mentre la successione degl’ insiemi 
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dei corrispondenti valori di /(x), a cagione di (1), non sarebbe convergente a X. 
La condizione è sufficiente. Sia, infatti, (2) una qualsivoglia successione d’ insiemi 
contenuti in X, convergente a x 0 , e (3) la successione degl' insiemi dei corrispondenti va- 
lori di f(x). Dato il numero positivo £ ad arbitrio, esiste, per ip. , un numero positivo <5 
tale che, per tutti i punti x, di X, appartenenti all’intervallo (x 0 — §, x 0 -f-8), si abbia 
In corrispondenza al numero D , esiste un numero naturale v tale che tutti gl’ insiemi 
Y n della successione (2) , per nf>\>, siano contenuti nell’ intervallo (x 0 — § , X 0 -\- 8), e 
allora tutti gl’ insiemi Y n della successione (2) , per n f> v , sono contenuti, in virtù della 
(4), nell’intervallo (X — s, X — (— e), e quindi la successione (2) è convergente a X. 
In modo analogo : 
II. Se f (x) è una funzione di x in X, e x 0 è un valore limite di X, condizione 
necessaria e sufficiente perchè f (x) diverga comunque x tenda a x 0 in X, è che , per 
ogni numero positivo k, esista un numero positivo o tale che per tutti i valori x 
di X, che soddisfano alla condizione | x — x 0 | <C § , sia j f (x) | 7> k . 
Si hanno analoghi teoremi, che il lettore può enunciare e dimostrare, per la condi- 
zione di convergenza o divergenza di una funzione quando la variabile diverge. 
4. Funzioni continue. — La nozione di funzione continua può stabilirsi nella se- 
.guente maniera. 
Sia f{x) una funzione definita in un intervallo (a, b) e x 0 un punto di (a, b). Se 
comunque x in (a, b) tenda a x 0 ,f(x) tende a f{x 0 ), noi diremo che f(x) è continua 
nel punto x 0 . 
Dal teor. 1 del n. prec. si deduce subito che 
I. Condizione necessaria e sufficiente perchè una funzione f (x) definita in un 
intervallo (a, b) sia continua in un punto x 0 di (a, b), è che , dato ad arbitrio un 
numero positivo £, esista un intorno di x 0 , (x 0 — ^ , x 0 — {— , contenuto in (a, b) 
; tale che , per ogni valore di x in quest' intorno , sia 
La data definizione di continuità può essere applicata, con vantaggio di semplicità e 
.li eleganza, alla dimostrazione delle principali proprietà delle funzioni continue. Noi ci li- 
nitiamo alla dimostrazione dei teoremi di YVeierstkass e Heine (Cantor) : 
II. Se f (x) è una funzione continua in ogni punto di (a, b), /’ insieme Y dei 
valori di f (x) corrispondenti ai punti di (a, b) è limitato , e V estremo superiore 
' inferiore ) di Y è il massimo ( minimo ) dei valori di Y . 
Se Y non è limitato, si può costruire (2, IX) una successione divergente 
( 4 ) 
| / ( X ) — X | <3. 
\f{x) —f(x 0 ) I < £ . 
1 ) 
