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Michele Cipolla 
[Memoria V.J 
ci’ insiemi contenuti in Y. Se X n è l’ insieme dei punti di {a, b), corrispondenti ai valori 
di Y n , la successione 
(2) i X 2 , , X n , • . . 
ha (1, 1) per lo meno un punto limite x 0 in {a, b) , e si può costruire (2, VII) una suc- 
cessine non costante, contenuta in (2) e convergente a x 0 . La corrispondente successione 
degl’ insiemi dei valori della funzione dovrebbe da una parte convergere a / (x 0 ) , per la 
continuità di f(x) in ogni punto di (a, b) e d’altra parte essere divergente, come conte- 
nuta nella (1): ciò è assurdo, e perciò l’insieme 7 è limitato. 
Sia S I’ estremo superiore di 1. Se non è un valore di Y, S è certamente un valore 
limite di Y, e si può costruire una successione d’ insiemi contenuta in Y : 
convergente a S. Se X è 1’ insieme dei punti di (a, b) corrispondenti ai valori di Y a , la 
successione 
(4) X l , X 2 , . . . , X n , . . . 
ammette almeno un punto limite x 0 in (a, b) e si può costruire una successione non CO' 
stante, contenuta in (4), e convergente a x 0 . Allora la successione degl’ insiemi dei valori 
corrispondenti della funzione converge a /(.r 0 ) per la continuità di f (x), e converge a S 
perchè contenuta nella (3). Dunque /(x 0 ) = S. 
Importa anche notare che l’insieme dei punti di (a, b) in cui f(x) prende il massi- 
mo (minimo) valore è chiuso. 
111. Se f (x) è continua in ogni punto di (a, b), dato ad arbitrio un numero z 
positivo, esiste un numero positivo § tale che in ogni intervallo d' ampiezza o, 
contenuto in (a, b), /’ oscillazione della funzione sia minore di s. 
Sia 
una successione di numeri positivi, decrescente e convergente a zero, e supponiamo che 
per ogni esistano intervalli di ampiezza nei quali l’oscillazione della funzione sia 
non minore di e. 
Allora, se a„ è uno di quest’ intervalli e x n , x" n due punti di o n in cui f(x) prende 
il massimo e il minimo dei valori che ha in o„ , si ha 
(-) f(x' a )—f{xn)^e. 
Denotiamo con X n l’insieme dei punti x' n relativi a tutti gl’intervalli d’ampiezza 
La successione 
ammette almeno un valor limite x 0 in ( a , b) e si può costruire una successione non co- 
stante d insiemi contenuta in (3) e convergente a „r 0 . Denotiamo ancora con (3) questa 
