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Sul postulato di Zeni telo e la teoria dei limiti delle funzioni 
nuova successione, e sia A", l’insieme dei punti x" n corrispondenti ai punti x n di X „ . La 
successione 
( 4 ) 
x;, x; 
x 
n 
n j • • • 
tende allo stesso limite x 0 , perchè (2, 11) per ogni x' a di X' n esiste un elemento x" n di 
X' n tale che sia | x' n — x" n J <C.^n , mentre la successione degl’ insiemi dei valori della 
funzione corrispondente alla (3) e quella corrispondente alla (4) non potrebbe tendere allo 
stesso limite f(x 0 ) , a cagione della (2) (2, II). 
Ciò contradice all' ipotesi che f{x 0 ) sia continua in ogni punto di (a, b), e quindi esi- 
ste un termine ^ della successione (1) tale che in ogni intervallo d’ampiezza ^ , contenuto 
in (a, b ), 1’ oscillazione della funzione sia minore di e. 
11 teorema è poi, anche per una funzione continua in un dominio a più dimensioni, 
conseguenza immediata della prop. I del n. 7. 
5. Legame tra la teoria dei limiti delle funzioni generalmente continue e la 
teoria delle successioni numeriche. 
La teoria dei limiti delle funzioni che sono generalmente continue in un intervallo, è 
collegata alla teoria dei limiti delle successioni numeriche dai seguenti due teoremi. 
I. Sia f(x) una funzione continua in ogni punto dell' intervallo (a, b) tranne 
in un punto x 0 . 
Se per ogni successione monotona convergente a x 0 , formata da numeri del- 
l intervallo, diversi da x 0 , la successione dei corrispondenti valori della funzione 
converge a k (o diverge j, allora f(x) tende a k (o diverge ) comunque x tenda a x 0 
in (a, b). 
Sia 
( i ) i V " 1 i i • • • 
una successione convergente a x 0 , d’ intervalli consecutivi contenuti in (a, b) e non con- 
tenenti x 0 . Per fissare le idee supponiamo che sia x 0 f> a e che gl’intervalli sian tutti con- 
tenuti in (a, x 0 ). 
La funzione f[x), essendo continua in A, i? ammette in questo intervallo il minimo e il 
massimo valore. Sia x n il minimo dei valori di nei quali f (x) prende il minimo va- 
lore, e x n il massimo dei valori di à n , nei quali /(.r) prende il massimo valore. 
Le due successioni 
1 > , . . . , x n , ... 
/ J / 
.V i , A j , . . . , .\ ,j , . . , 
convergono entrambe a „r 0 , e quindi, in virtù dell’ipotesi, le successioni 
/(•*■,) , f\x t ) , , f(x n ) , . . . 
f(x\), f(x\), ... ,/CO, ... 
convergono entrambe a 1. Dato perciò un numero positivo s ad arbitrio, esiste un indice v 
ATTI ACC. SERIt V, VOL. VI. Meni. V. 
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