10 Midi de Cipolla [Memoria V.] 
tale che per ogni n f> v sia 
| f(X n )-l I <3, I fipc'n ) — X i <3. 
Se ò v è l’estremo destro di A v , l’intervallo [b,,, x 0 ) di ampiezza ^ =x 0 —b v contiene 
ogni intervallo A ;l il cui indice n è maggiore di v , e se x è un qualsivoglia punto, di- 
verso da .r 0 , dell’intervallo (ò v , x 0 ) , cioè, se x è un numero che soddisfa alla condizione 
o < Xo — x < ^ , esiste un intervallo A /( successivo a A,, , che contiene x, e poiché si ha 
f (x n ) ^f(x) f(x n ) 
si deduce dalle (2) 
(3) I f(x) — X | <s. 
Supponendo invece x 0 <C b e gl’intervalli (1) contenuti nell’intervallo (x 0 , b), si dimo- 
stra in modo analogo che esiste un numero positivo ?>, tale che, per ogni valore di x che 
soddisfa alla condizione o < x — x u <C , abbia luogo la (3). 
Se quindi § è il più piccolo dei numeri , per tutti i punti x diversi da x 0 del- 
l’intervallo {x 0 — o , .r 0 la (3) è soddisfatta, e ciò è quanto occorre e basta per con- 
cludere che f{x) converge a X, comunque x tenda a x 0 in ( a , b). 
In modo analogo si dimostra che, se per qualsivoglia successione monotona conver- 
gente a Xo di numeri dell’intervallo, diversi da Xo , la successione dei valori corrispondenti 
della funzione è divergente, allora /(x) diverge comunque x tenda a Xo in (a, b\ In que- 
sto caso però occorre notare, per la dimostrazione, che i valori f(x n ) e f(x' n ) definiti 
come sopra , devono , da un certo valore di n in poi , divenire e restare dello stesso se- 
gno, altrimenti la funzione f(x) prenderebbe il valore zero in quanti si vogliano intervalli 
A„ e si potrebbe costruire una successione monotona di numeri, convergente a x 0 , e tale 
che la successione dei valori corrispondenti della funzione sia composta di termini tutti 
nulli. Quest’ ultima successione convergerebbe a zero anziché divergere, come dovrebbe per 
ipotesi. 
Con analoga dimostrazione si stabilisce che : 
11. Se f(x) è una finizione continua per ogni valore di x maggiore (minore) 
di a, e se per qualsivoglia successione crescente (decrescente) e divergente di nu- 
meri maggiori (minori) di a, la successione dei corrispondenti valori di f (x) con- 
verge a X o diverge, allora , comunque x diverga per valori maggiori (minori) di 
a, la funzione f(x) converge a X o diverge rispettivamente. 
6. Appare subito I’ importanza di queste proposizioni. Csse possono applicarsi con 
vantaggio nella ricerca dei limiti delle funzioni e in particolare nella dimostrazione delle 
regole di derivazione. Noi piuttosto vogliamo far vedere come per esse si possa dimo- 
strare molto semplicemente la regola di L’ Hospital. 
Questa regola segue dalle due proposizioni seguenti: 
I Stano I (x) , (x) funzioni continue in un intervallo C, e derivabili in ogni 
punto nitrì no a ( , pq inoltre la funzione ( x) non sia mai nulla nei punti in- 
terni a C. 
