Sul postulato di Zermelo e la teoria dei limiti delle funzioni 
Se, comunque x tenda ad un’ estremo a di C, f (x) e 9 (x) tendono entrambe a 
n f / \ 
zero o divergono ed è regolare il rapporto ' , / , allora è anche regolare il rap- 
9 (x) 
/ ( x ) 
porto 1 — — e il limite dell' uno è uguale a quello dell' altro. 
9 (x) 
Poiché cp' (x) non è mai nulla nei punti interni a C, la funzione 9 {x) non può as- 
sumere valori uguali in punti distinti di C, e però è crescente o decrescente in C. Se a 
è 1’ estremo sinistro (destro) di C, consideriamo una qualsivoglia successione decrescente 
(crescente) di valori di x in C che sia convergente ad a : 
( 1 ) 
-Ti ì X a i i • • ? n j 
La successione 
( 2 ) 
cp (x t ) , cp (x 2 ) (x n ) , . . 
è crescente o decrescente e, in virtù dell’ipotesi, tende a zero o diverge. Si può allora 
applicare una nota proposizione della teoria dei limiti delle successioni numeriche e consi- 
derare il rapporto 
/ (x n ) — f (x „ +1 ) 
(3) 
cp (x„ ) cp (.V,,^! ) 
che, per il teorema di Cauchy sul rapporto degl’ accrescimenti finiti, è uguale a 
f {Zìi) 
(4) 
9 (s„ ) ’ 
essendo z n un ben determinato valore di x , compreso tra x n e x n+1 . Poiché, quando 
f ' (x) 
x n tende ad a , z n tende pure ad a ed e, per ip., regolare il rapporto '-j — — - , se ne deduce 
cp [oc) 
f [x ) 
che è regolare il rapporto (3) e, per conseguenza, il rapporto ~ ; n , e infine (5, I, II) 
? [x n ) 
è regolare il rapporto e il suo limite è uguale a quello di 
9 (x) 
? (x) 
II. Siano f (x) , 9 (x) funzioni dotate di derivate per qualsivoglia valore di x, 
maggiore ( minore ) di un numero a, ed inoltre f[x), pei detti valori di x , sia sem- 
pre diversa da zero. 
Se comunque x diverga per valori maggiori ( minori ) di a, f (x), 9 (x) tendono 
( V* | 
entrambe a zero 0 divergono ed inoltre è regolare il rapporto , , , tale è anche 
9 (x) 
f (X) 
il rapporto ' r \ \ , e il limile dell’ uno è uguale a quello dell' altro. 
Poiché f{x) non è nulla a destra (sinistra) di a, la funzione 9 (x) è crescente o de- 
crescente in ogni intervallo a destra (sinistra) di a , e però, essendo (1) una successione 
crescente (o decrescente) e divergente di valori di x, maggiori (minori) di a , la succes- 
sione corrispondente (2) é crescente 0 decrescente e, in virtù dell’ipotesi, tende a zero o 
diverge. Si può quindi considerare il rapporto (3) e continuare il ragionamento come per il 
teor. precedente. 
