Michele Cipolla 
[Memoria V.] 
7. Un teorema fondamentale, ed estensione di un teorema di Borel. — Le prop. 
del n. 2 si possono estendere senza pena alle classi d’insiemi ad ni dimensioni. Noi ne 
faremo senz’altro alcune applicazioni. 
Sia S una relazione simmetrica e transitiva, avente per campo un insieme C ad m 
dimensioni. Diremo che nell’intorno (sferico ad m dimensioni) di centro c e raggio p — 
che denotiamo con (et p) — ha luogo (o no) la relazione S, se tutti (o non tutti) i punti 
di C, che cadono in (c; p), sono legati dalla relazione S. 
Ciò posto, si ha la prop. : 
I. Sia X un insieme ad m dimensioni limitato e chiuso ed S una relazione 
simmetrica e transitiva di campo C. Se X è contenuto in C e nel derivato di C, 
e se ad ogni punto x di X corrisponde un numero p x tale nell' intorno (x; p. r ) 
abbia luogo la relazione S, allora esiste un numero positivo p siffatto che nell' in- 
torno (x; p) di qualsivoglia punto x di X ha sempre luogo la relazione S. 
Sia 
( 1 ) >\ , r t , . . . , r H , . . . 
una successione di numeri positivi, decrescente e convergente a zero; e ammettiamo per 
un momento che per ogni r n esista almeno un punto x H di X tale che nell’intorno (x a ; r n ) 
non abbia luogo la relazione S. Denotando con X n l’insieme di siffatti punti x n , la suc- 
cessione 
io) Y X X 
è densa in ogni dominio che contiene X e però ammette un punto limite x 0 . Questo è 
anche un punto limite di X. Infatti x 0 potrebbe non essere un punto limile di X solo 
quando fosse contenuto in quanti si vogliano insiemi X n , ma in tal caso esisterebbe in (2) 
un numero r n <f p tale che nell’intorno ( x 0 ; r n ) non abbia luogo la relazione S: questo 
è assurdo, perchè (x 0 ; r n ) è contenuto in (x 0 ; p Vo ) , dove ha luogo la relazione S, e in 
(x 0 ; r n ) cadono quanti si vogliano punti di C. 
Adunque x 0 è un punto limite di X, e quindi un punto di X. Intanto, preso un nu- 
mero n tale che r n sia minore di ~ p_ Vn , esistono in (2) quanti si vogliano insiemi 
X n , ciascuno avente un punto x n almeno in (x 0 ; — p r Q, dove ha luogo la relazione S , 
e allora anche in ( x n ; r n ) avrebbe luogo la relazione S, contro l’ipotesi fatta. 
Pertanto deve esistere in (1) un termine r a — p tale che, qualunque sia il punto x 
di X , nell’ intorno (x ; p) abbia sempre luogo la relazione S. 
Da questo teorema, specializzando la natura della relazione S, si traggono varie con- 
seguenze. Per es. : 
11, Se X () un insieme limitato e chiuso ad m dimensioni ed L una classe d' in- 
siemi 1 tali che ogni punto x di X sia interno ad uno almeno di essi , allora esi- 
ste un numero positivo p siffatto che, fissato un punto qualsivoglia x di X, /'in- 
torno (x ; p) risulti interno ad uno almeno degl' insiemi di Q. 
Infatti, ad ogni punto x di X corrisponde un numero p,. tale che l’intorno (x ; p.„) 
sia interno ad un insieme almeno di 12. Due elementi di A" li diremo legati dalla rela- 
