3 
Sul sistema di reile dell' S 4 generato da due S 3 omografici fra loro 
Inversamente : due raggi p, p' di 1 omologhi nella K sono in un piano di Q, 
epperò incidenti 
Difatti se p = ‘(Sp sarà pi = fop' (n. 1) sicché: 
Ogni piano x di 0 incontra o, p' nell' unica coppia di raggi omologhi nella l\ 
giacenti in esso. 
Ogni raggio generico p del complesso incontra p, ri nell’ unica coppia di punti 
omologhi nella K che ad esso appartengono. 
Se x appartiene a p ( o p ') i due raggi omologhi ci vengono forniti dall’ incontro di x 
con i piani x t , = p p' (o x 2 = p p',*x' 8 ). 
Dunque: ogni piano x di Q contiene co 1 raggi di I formanti un inviluppo 
della seconda classe i 2 ; che sono i raggi che congiungono i punti omologhi delle pun- 
teggiate (/>) , (/>') proiettive nella data K. 
Inoltre si riconosce facilmente che un piano generico o contiene un sol raggio di I, 
o non ne contiene alcuno. Un piano a di p (o p') che non appartenga a Q contiene evi- 
dentemente un sol raggio di I. 
Adunque gli oo 2 piani di Q son tutti e soli i piani eccezionali di I. 
3. Facilmente può affermarsi che ogni spazio ^ di C, viene incontrato dai rimanenti 
di questo in co 1 piani di Q i quali costituiscono un inviluppo X 3 della terza classe, i cui 
assi sono raggi di I e formano una congruenza ( x ) q (3, l); mentre uno spazio generico 
dell’S, contiene soltanto una schiera rigata di I (n. 1). 
Adunque gii co 1 spazi di C 4 sono tutti e soli gli spasi singolari di I. Evidente- 
mente i cinque spazi fondamentali cq sono di C v Per cui: Il complesso / si può consi- 
derare costituito dall’insieme delle co 1 q (3, 1) di tali spazi singolari. 
4. Sia s un raggio, non di /, giacente su un piano x di Q, ed s’ il suo corrispon- 
dente in K (del piano x') sarà ss spazio di C 4 e x l’unico piano di Q passante per s; 
poiché se fosse s = xx , x, x entrambi piani di Q. risulterebbe 5 trispaziale di C 4 epperò 
di /, contro il supposto. Le rette 5 s' si appoggiano ( 2 ) evidentemente al raggio xx' di /; 
sicché: per ogni raggio dell' S., o passano tre piani di Q (raggi di I), o ne passa 
uno solo , o non ne passa alcuno. 
Sulla rappresentazione spaziale del complesso /. 
5. Indicando con t — f — la corrispondenza che coordina ad ogni raggio p = PP’, 
congiungente i punti omologhi P. P' nella Q, il relativo punto P — P' — , a ciascun raggio 
di / corrisponde in t un sol punto di p, e viceversa; sicché il complesso / è rappre- 
sentabile nello spazio p, ed in generale in uno spazio generico dell’ S 4 . Tale rappresen- 
tazione, che indicheremo con E, oltre farci constatare la razionalità del complesso ci 
sarà molto utile in seguito per lo studio del medesimo. Segue pertanto: 
— a) Ad ogni punto di p corrisponde in £ un raggio di I. 
— b) Ogni punteggiata di p, essendo in generale sghemba con la sua omologa in K , 
(*) Cfr. [r, r'] n. io. 
( 2 ) Consideriamo uno spazio di C\, ad es. fi, e gli °° 3 raggi, non di /, giacenti sugli oo * piani di Q 
dell’inviluppo A' ;} relativo a detto p : tali raggi formano un complesso dell’ S 3 d’ordine Ire, poiché per un 
punto generico di p passano tre piani di X 3 , epperò tre fasci del complesso. 
Gli co 1 spazi di Ci danno un sistema oo 4 del I ’ .S 4 di tali raggi, il cui ordine è sei come si vede facilmente. 
