Sul sistema di rette dell' S 4 generato da due S 3 omografici fra loro 
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omologhi nella K che danno i raggi p L ( i~ 1, 2, 3) concorrenti io S risultano omologici 
i triangoli P l P 2 P 3 , P\ P\Pf e quindi incidenti le coppie di raggi PiPn, P ìPk 
[ i, k — l, 2, 3) corrispondenti in K\ quest’ ultimi sono dunque raggi del complesso (n. 2), 
cioè appartengono ai due / 2 dei piani iq , it'j. Viceversa se P l P 2 jP 3 è un triangolo del- 
l’ inviluppo i % di tc 15 risultano incidenti ( l ) i tre raggi pi corrispondenti in £ ai tre punti 
Pi, ed il triangolo P\ P\ P' 3 , corrispondente in K al dato, apparterrà all’inviluppo i 2 di 
Pertanto risultano individuate od 3 cubiche gobbe di p passanti per i detti punti P l P. 2 P 3 
e per ciascuna delle oc 3 terne di vertici dei triangoli dell’inviluppo di = pp', alle quali 
corrispondono in A" le od 3 cubiche gobbe di p passanti per la terna P, e per i vertici dei 
triangoli dell’inviluppo del piano corrispondente in K al piano ~ 2 = p p'. Tali cubiche 
dan luogo ai sistemi I ( 5 ) dei raggi incidenti le oo 3 rette dell’ iperstella (S). Difatti dette 
c 3 e c'.j due cubiche siffatte e corrispondenti in K , la rigata R formata dalle congiungenti 
i loro punti omologhi è d’ordine 6. Inoltre dalle note costruzioni geometriche delle mede- 
sime risulta che la c 3 (e con essa ciascuna delle predette oc 3 cubiche di p) passa per il 
punto S di concorso dei tre raggi pi della R ; il punto S è dunque quadruplo per la 
sestica intersezione della rigata R con lo spazio p; altrettanto dicasi per lo spazio p' : sic- 
ché la rigata R contiene la retta s quale direttrice quadrupla , e risulta un sistema I (s) 
del complesso ; — di qui : 
Se due cubiche c 3 c' 3 riferite proiettivamente in una data omografìa K, inter- 
cedente fra due spasi p, p' generici dell' S 4 , sono tali che le loro corde ( due terne ) 
giacenti nel piano p p' risultano raggi del complesso I determinato dalla data K, 
le congiungenti i punti omologhi di tali curve costituiscono una rigata I (s) del 
complesso. 
Oss. Da quanto è sopra esposto discende : 
a) Esistono 00 6 cubiche siffatte di p, le quali dan luogo con le loro corrispondenti in 
K agli oc 6 sistemi / (s) dell’ S 4 : chiameremo tali c 3 cubiche di S. 
b) Esiste una corrispondenza biunivoca che indicheremo con X, fra le 00 0 cubiche 
di ^2 e le oo 6 rette dell'S.,; data infatti una retta 5 è determinata la relativa cubica c 3 di 
mentre viceversa data una c% di 2 risulta determinata (n. 7) la rigata I (sj, epperò la 
retta 5 . 
c) Si è osservato che le oo 3 cubiche di Ì2 passanti per i punti P, predetti passano 
altresì per il punto S centro della iperstella (S) coordinata ad esse in esse sono evi- 
dentemente tutte e sole le cubiche di - passanti per la data terna di punti. Osservando 
ancora che un triangolo P l P 2 P 3 di raggi del complesso (o come diremo talvolta trian- 
golo di I) è individuato quando sian dati due suoi vertici segue: ogni cubica di SL pas- 
sante per due vertici di un triangolo di I del piano tz 1 ( corrispondente in K _1 al 
piano Ttf = pp') passerà anche per il terso. 
Ed ancora : 
Le. oo 3 cubiche di S passanti per due punti del piano passano altresì per 
altri due punti, dello spazio p, formanti con i dite primi un tetraedro i cui. spi- 
goli sono raggi del complesso I e le facce piani di Q; i tetraedri siffatti li chiame- 
remo del complesso. 
8. Casi particolari del sistema f (s). (*) 
(*) Perchè il triangolo dato e quello dei punti P\, P\, P' 3, corrispondenti in A' ai punti Pi , sono omologici. 
