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Giorgio Aprile 
[Memoria XIV.] 
a) Se 5 giace nello spazio p, senza appartenere al complesso, la relativa cubica di X 
risulta spezzata nella retta s ed in una conica c 2 del piano ir,, e ciò perchè la rigata I (s) 
si spezza nella schiera rigata R 2 , generata dalle punteggiate 5 s' proiettive nella K, e nella 
rigata X*,, d’ordine quattro della congruenza <7 (3, 1) di p, rigata che è di 8 a specie del 
Cremona, 9 a specie di Cayley ed ha per direttrice tripla la data 5. 
Tale 7? 4 incontra il piano x l nella predetta conica c 2 e nella coppia di raggi p lì p 2 , 
dell’/, di tale piano, uscenti dal punto S = x, s: a ciascun punto di tale conica corrisponde 
in X un raggio della rigata i? 4 ; di qui la nota costruzione di R i . 
È chiaro che se 5 percorre lo spazio rigato p la relativa c 2 percorre il sistema oo 4 
di coniche del piano x 4 . Inoltre detta p , p l’unica coppia di raggi omologhi nella K gia- 
centi nel piano x t (n. 2) i due punti p c 2 danno nella corrispondenza X i due raggi />,, />, 
anzidetti ; cioè il trilatero p l p 2 p dell’ inviluppo / 2 risulta inscritto alla conica c 2 . Esistono 
quindi f) oo 1 trilateri di tale /, inscritti alla medesima, ciascuno dei quali fornisce in X 
una terna di piani del sistema Q concorrenti in un punto della retta 5. Discende ancora 
che se c 2 è una conica del piano nq e P l P 2 L* 3 un triangolo del complesso, inscrìtto in 
esso, esistono oo 1 triangoli siffatti, ciascuno dei quali fornisce tre raggi concorrenti della 
rigata R 4 che corrisponde in X alla conica data c 2 , e quindi un punto triplo della medesima 
detta R 4 risulta dunque a direttrice tripla e d’ordine 4. Per cui: 
Se due coniche c c' riferite proiettivamente . in una data omografìa K interce- 
dente fra due piani x, x' cospaziali sono tali che esistono due trilateri della con- 
gruenza q (3, 1 ) determinata dalla predella K, inscritti rispettivamente a ciascuna 
di esse, le congiungenli i punii, omologhi di dette coniche costituiscono una rigala 
I (s) della congruenza. 
Le coniche siffatte dei piani x, , x' t = x 2 , x' 2 li chiameremo coniche di X. 
b) Se la retta s, non di /, sta su un piano di Q ed appartiene a p — p' --l’/(s) si 
spezza nell’ i 2 dell’ unico piano di Q passante per esso, ed in due schiere ( 2 ) rigate. 
c) Se infine 5 è di / la / (s) risulta spezzata nei tre i 2 della terna di piani di Q pas- 
santi per 5 (n. 2) mentre la c 3 che vi corrisponde in X risulta costituita dai tre raggi della 
q (3, 1) di p passanti per il punto ps. 
Sul sistema I (a). 
9. Il sistema /(a) cioè dei raggi di I incidenti ad un piano generico o, risulta costi- 
tuito da co 2 raggi i quali formano una ipersuperficie d’ ordine sei, come risulta secandola 
con uno spazio passante per a, piano da contarsi 4 volte. 
Dalla superficie d'ordine sei intersezione di /(a) con p si stacca in generale la rigata 
R i che ha per direttrice tripla la retta 5 == p a (n. 8, a), sicché (n. 6). 
Il sistema I (a) si può costruire congiungendo i punti omologhi di due deter- 
minate quadriche corrispondenti fra loro in K. 
Ed ancora : Gli oo 2 raggi di 1 (a) formano una congruenza (6, 2). 
L’ordine sei è sopra dimostrato; la classe 2 ci vien data ricordando che uno spazio 
(*) PONCELET — j ' vaile des propriclès proj. , des figura — Paris 1862. 
( 2 ) Una di esse appartiene alla q (3, 1) di p, l’altra è quella generata dalle punteggiate proiettive s, s. 
