Sul sistema di rette dell' S., generato da due S :! omografici fra loro 
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comuni a tale spazio ed ai sostegni dei rimanenti fasci: tali raggi percorrono, at variare 
di h, i fasci (A h , o,, w ), (Ai, o u<k ) rispettivamente; epperò : 
Il complesso si può considerare costituito da oc 1 congruenze lineari formanti 
fascio ( 1 ). 
Notiamo che i due fasci predetti di raggi sono prospettivi fra loro rispetto al piano 
<3/^,1 : Risulta inoltre che dati due fasci generici di raggi (A, a) (A\ a') dell’ S 4 è sempre 
possibile stabilire fra essi una corrispondenza prospettiva rispetto ad un terzo piano, pure 
dato, passante per A, A'; per cui: 
Due fasci di raggi riferiti prospettivamente fra loro determinano un com- 
plesso l rispetto al quale sono singolari i due piani dei fasci ed il piano loro 
centro di prospettiva. 
21. Dimostreremo qui che le proprietà enunciate ai n. 18, 19 sono caratteristiche 
per I ilu .. 
Siano infatti i, k, l tre piani dati in posizione generica nell’ S 4 e consideriamo il si- 
stema che indicheremo con I, dei raggi incidenti a tali piani . Detto p un raggio ge- 
nerico di I risulta ovviamente che esso è il solo comune ai tre spazi pi, pii, pi ; dunque : 
I si può generare mediante i tre fasci (i), (k), (1) di spazi. 
Detti A h A fi , A L rispettivamente i punti kl, li, ik ogni retta del piano A, A h Ai ri- 
sulta incidente alla terna i, li, l, epperò tale piano è parassita semplice di /; eviden- 
temente non ne esistono altri. 
Fissata ora una coppia di spazi generici p,p' del fascio (A- L A /c A ( ) coordiniamo ad 
ogni punto R~ptt (p raggio generico di I) il punto R' ~ pf : la corrispondenza biuni- 
voca K che in tal modo viene stabilita fra p, p' è una omografia che ammette A, , A k , A L 
come punti uniti. 
Infatti se 5 è un raggio generico di p ed I(s) la rigata, d’ ordine tre, costituita dai 
raggi di I incidenti ad 5 , è chiaro che da essa viene a staccarsi un fascio del piano pa- 
rassita AiA k Ai\ la schiera rigata rimanente incontra p' in un raggio del predetto fascio e 
nella s omologa di 5 in K. Questa ammette evidentemente At, A k , Ai come punti uniti. 
Si può dunque concludere : il sistema di. rette incidenti a tre piani generici ( 2 ) 
dell' S i coincide col sistema delle congiungenti i punti omologhi di due spasi omo- 
grafici fra loro e aventi tre (soli) punti uniti a comune ( che sono i punti di in- 
tersezione dei piani dati. 
Inoltre: Esistono oo 2 omografie individuanti il medesimo complesso I. 
I 1 ) Poiché ciascun iperpiano <5 verrà a contenere una congruenza lineare di lini. 
( 2 ) Per amor di brevità tralasceremo, come nei casi particolari dei n.i precedenti Io studio dei sistemi 
I(s), /(a), I(o, x). 
Accenneremo qui soltanto il sistema /(a), cioè dei raggi del complesso Ina incidenti ad un piano gene- 
rico a. Tale sistema risulta costituito da tutti e soli i raggi dell’ S 4 incidenti il piano dato a e la terna di 
piani singolari del complesso; quaterna di piani secantisi (in generale) in sei punti di cui tre non sieno in 
una stessa retta; I (o) coincide dunque con la varietà cubica V 3 3 studiata dal SEGRE V. Sulle varietà cubiche 
con dieci punti doppi. Atti Acc. Torino 1887. Sulle varietà cubiche ecc. Meni. Acc. Torino 1888 ; V. anche 
BERTINI — Introduzione alla Geometria proiettiva degli iperspazi — Spoerri. Pisa 1907. Cap. 8. 
Con considerazioni analoghe a quelle dei n.i 6 e 7 si conclude : 
La V 3 3 dell' S 4 si può costruire congiungendo i punti omologhi di due determinate quadriche (di due 
spazi distinti p, p' rispettivamente ) corrispondenti in un’ omografia Q che ammette pp' quale piano fonda- 
mentale e passanti per i tre punti uniti che la Q determina in tale piano. 
