Math.-physik. Sektion. 
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rieht besonderen Wert auf die ausführliche Besprechung der Grundbegriffe legen 
müsse, weil nur unter dieser Voraussetzung ein sicheres Weiterbauen möglich sei. Ich 
glaube jedoch, daß weder das Bild noch die Sache richtig ist. Wer in der Schule 
die Lehre vom Licht oder von der Elektrizität mit Erörterungen über das Wesen des 
Lichts oder der Elektrizität beginnen wollte, der wird nicht weit kommen; und auch 
mitten im Unterricht braucht man fortwährend vorläufige Definitionen, die später 
berichtigt werden, z. B. spricht man von starren Körpern, obwohl alle Körper 
elastisch sind. Mit Kecht nennt daher Volkmann die Physik ein Begriffssystem mit 
rückwirkender Verfestigung. Dies gilt meiner Ansicht nach auch für die 
Mathematik. Wir können beim Unterricht die Differentialrechnung nicht so behandeln, 
wie es die moderne Präzisions-Mathematik verlangt, sondern wir wollen uns von der 
geschichtlichen Entwickelung leiten lassen, und zunächst einen Einblick in die Fülle 
und Reichhaltigkeit der Entdeckungen geben, die Newton, Leibnitz, Bernoulli, 
Euler durch diese Methoden gemacht haben. Erst wenn man sich in diesen 
Gedankenkreis eingelebt hat, kann eine strenge Kritik der Grundbegriffe wertvoll und 
fruchtbar sein, vorher scheint mir aber die wissenschaftliche Strenge das Verständnis 
ebenso zu erschweren, als wenn man einem Quartaner die erschöpfende Behandlung 
des Parallelen-Axioms zumuten wollte. 
Ich gehe also in Obersekunda in medias res und beginne mit einem Beispiel 
y = ax 2 , 
für einen Nachbarpunkt mit den Koordinaten x-\ - dx und y -f- dy wird 
y -f- dy = a {x 2 -j- 2x dx -j- dx 2 ). 
= 2 ax -f- a • dx. 
Setzt man hierin dx = 0,01; 0,001..., so erkennt man, daß der Differential- 
quotient sich einer bestimmten Grenze nähert, die erreicht wird, wenn dx ,, unmerklich 
klein“, d. h. so klein angenommen wird, daß man daneben die höheren Potenzen von 
dx und dy ebenso wie dx • dy vernachlässigen kann. Dies stimmt damit überein, daß 
man das Stück der Kurve zwischen dem betrachteten Punkte und dem Nachbarpunkte 
als geradlinig ansieht, der Differentialquotient ist also die Neigung der Kurve oder 
die Tangente des Neigungswinkels. Diese Ableitung ist natürlich nicht streng, 
aber sie enthält gar keine prinzipiellen Schwierigkeiten, und sie gibt in allen Fällen, auf 
die es zunächst ankommt, sehr einfache Rechnungen, z. B. : 
1.) y = a x ~ 1 
xy = a 
{x -f- dx) {y + dy) = a 
xdy ydx = 0 
y 
dy — — —dx 
x 
= — a • x—^dx 
3.) y = sin x 
y dy == sin (x -f- dx) 
— sin x cos dx -f- cos x sin dx 
sin dx = dx, dann wird cos dx = Vl — dx 2 = 1 
und tg dx — dx 
y -j- dy = sin x -f- cos x ■ dx 
dy = cos x • dx 
3 
2.) y = aVx 
y 3 = a 3 x 
(y -f- dy) 3 = a 3 (x -f- dx) 
3 y 2 dy = a 3 dx 
dy — 
3 z/ 2 
dx 
• dx 
y + dy 
4.) y = tgx 
tgx-\-tgdx 
V \ dy i — j.g X ^ 
y tgx dx == tgx -\- dx 
dy = (1 + tg 2 x) dx 
dx 
cos 2 x 
