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Sitzungsberichte. 
tendes Prinzip ein, indem er die »umbra versa«, die Tangente des Winkels schuf und 
Tafeln dafür berechnete. Oder gehen wir zu den Reihen über, so sollte des merk- 
würdigen Scheinbeweises des Eleaten Zeno gegen alle Veränderung gedacht werden; 
er macht folgenden Fehlschluß: daraus, daß Achill der Schildkröte unendlich viele 
Zeitteilchen hinterher bleibt, schließt er verstandesgemäß, daß er sie niemals überholen 
kann, — im Gegensatz zu unsrer Wahrnehmung, die also falsch sein muß. Ihm war 
nicht bekannt, daß jene unendlich vielen Zeitteilchen eine endliche Summe besitzen. 
Es ist aber nicht meine Aufgabe, hier irgend eine Vollständigkeit erzielen zu 
wollen ; überall bietet der mathematische Unterricht Gelegenheit zu Ausblicken auf die 
allgemeine Kulturgeschichte, mit welcher unsere Wissenschaft innig verknüpft ist; und 
es entspricht ganz meiner Erfahrung, daß durch solche geschichtlichen Mitteilungen 
das Interesse der Schüler erweckt und wachgehalten wird. 
Der zweite Weg, welcher sich uns eröffnet, um die Geschichte der Mathematik 
zu berücksichtigen, ist ihre zusammenfassende Behandlung am Ende des ganzen 
Unterrichtskursus; und ich glaube, daß es hier keinen würdigeren und besseren 
Abschluß gibt. 
Ich habe es für vorteilhaft gefunden, zunächst wenigstens, die Geschichte der 
Zahlen und die Geometrie getrennt zu behandeln. Ein schneller Überblick muß hier 
genügen. Zählen = Abstrahieren vom konkreten Inhalt; zuerst wurde an den Fingern 
gezählt ; die Entstehung der Zahlwörter fällt in die früheste Periode der Sprachbildung, 
daher Übereinstimmung der ersten Zahlwörter bei allen sprachverwandten Völkern; 
hier lassen sich die interessantesten Beispiele geben. Um ein recht abliegendes zu 
nehmen, seien hier die ersten zehn litauischen Zahlen angegeben, die mit den ent- 
sprechenden lateinischen oder griechischen verglichen werden mögen : wienas, du, trys, 
keturi, penki, szeszi, septyni, asztuni, dewyni, deszimt; dagegen esthnisch: ühks, kaks, 
kolm, nelli, wihs, kuhs, seitse, kaheksu, öheksa, kümment. Die Zahl 100 heißt 
sanskrit: gata; gothisch: hunda; lateinisch: centum; litauisch: szimtas, griechisch: 
sxcctov; dagegen russisch: ssto; esthnisch: sadda. Es folgt: Notwendigkeit der Stufen- 
zahlen, ihre Verschiedenheit bei verschiedenen Völkern, decimales, duodecimales 
Zahlensystem, die Sexagesimalzahlen der Babylonier; die Ziffernschrift ist eine Begriffs- 
schrift, nicht eine solche für Laute oder Wörter; die Verschiedenheit der Zahlzeichen 
bei den Kulturvölkern. 
Um nun den Wert unseres heutigen, idealeinfachen und sachgemäßen Ziffern- 
rechnens klarzulegen, ist es nötig, die verschiedenen Ziffernsysteme der alten Völker 
zu erläutern; hier finden wir die unsystematische Bezeichnung z. B. bei den Griechen, 
die die Buchstaben des Alphabets benutzten, wobei ca. 40 verschiedene Zahlzeichen zu 
behalten waren; das additive Prinzip, z. B. 1906 = MDCCCCVI; das multiplicative 
Prinzip, 1906 = 1M9C6I ; das elevatorische Prinzip, 1906 -= ^9 g- leicht zu be- 
greifen, daß, wenn es sich um Rechnungen handelte, wie z. B. 1878 • 763 = 
MDCCCLXXVIII X DCCLXIII, man in die allergrößesten Schwierigkeiten geriet, 
wollte man, wie wir es heute gewohnt sind, die Aufgabe mit Hülfe der Ziffern selbst 
ausführen. Griechen und Römer rechneten daher auch anders, und zwar auf dem 
( ißa |, abacus. An dieser Stelle im Unterricht wäre auch der Unterschied klar zu 
machen zwischen instrumentalem, Kopf- und schriftlichem Rechnen. Daß das sonst 
so praktische Volk der Römer nicht imstande war, hier Wandel zu schaffen, mag als 
eins von vielen Beispielen dafür angeführt werden, daß die allergrößesten Erfindungen 
und Entdeckungen nicht der Not entsprungen sind, sondern sich als Kinder einer 
freien, idealen Schöpferkraft erweisen. Wenn wir nun heute die allerschwierigsten 
