Math.-physik. Sektion. 
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Rechenoperationen und diese mit beliebig großen Zahlen auf die allereinfachste Art 
auszuführen imstande sind, so verdanken wir das den arischen Indern, welche das 
Positionssystem schufen, in welchem der Wert einer Zahl durch ihre Ziffer und durch 
ihre Stellung angegeben wird; es mußte die 0 geschaffen werden. Hankel sagt 
darüber S. 45 folgendes : »Es gehört das indische Positionssystem in seiner wunderbaren 
Einfachheit zu jenen Erfindungen, welche, wenn sie einmal gemacht sind, so schnell 
und leicht in den allgemeinen Gebrauch übergehen, daß man bald vergißt, wie be- 
schwerlich und künstlich das frühere Verfahren gewesen ist, und wie nur ein Genie 
imstande war, eine solche der Natur der Sache völlig angemessene Idee zu fassen. 
Nur an der Hand der Geschichte können wir uns heute die Größe dieser Idee an 
und für sich vergegenwärtigen; ihr praktisch großer Erfolg liegt jedem Auge offen da. 
Alle indogermanischen und semitischen Völker von der Südspitze Indiens durch 
Persien und Kleinasien hindurch, die Ägypter, alle europäischen Nationen und deren 
Kolonien bedienen sich tagtäglich jener Frucht indischer Spekulation; ihre Kinder 
lernen schon in den Schulen die Weisheit der Inder. Wohl gibt es kaum ein anderes 
Resultat klar bewußten abstrakten Denkens, welches so weit verbreitet und so in den 
Gebrauch aller aufgenommen ist«. Die Erfindung der Inder ging auf die Araber über 
und wurde dann beim Wiedererwachen der Wissenschaften in Europa nach Deutsch- 
land verpflanzt; Gerhard von Crcmona; Leonardo Pisano; Kampf zwischen Abacisten, 
die das Rechenbrett und später das Rechnen »auff der linihen«, und Algorithmikern, 
die das Rechnen mit der 0, »auff der federn«, verfochten. Hier wird man des Rechen- 
meisters Adam Ries gedenken müssen, vielleicht auch Pestalozzis und seiner Rechen- 
tabellen; auch wäre hier die russische Rechenmaschine, ihre merkwürdige Herkunft 
von den mongolischen Völkern zu den Russen, von diesen durch Poncelet zu den 
Franzosen zu erwähnen, von denen wir sie überkommen haben. 
Wir gehen zur eigentlichen Arithmetik über. Pythagoras stellt zahlentheoretische 
Untersuchungen an; Euklid ist der Schöpfer des Irrationalen und der inkommensu- 
rablen Größen; Aristoteles führt zuerst Buchstaben für unbekannte Zahlen ein, usw. 
Hier ist über Archimedes, des »Hofmathematikers« in Syrakus, Ausführlicheres mitzuteilen. 
In ähnlicher Weise könnte nun die Geometrie behandelt werden; es muß hier 
aber genügen, wenn der Stoff nur durch Überschriften gekennzeichnet wird. Ägypten, 
die Urheimat der Geometrie; Erfindung der einfachen Instrumente Lineal, Zirkel, 
rechter Winkel, Setzwage; Pyramiden; großartige Entwickelung der Geometrie bei den 
Griechen; Pythagoras; Euklid; Ähnlichkeit der Figuren bei Hippokrates von Chios; 
Plato und das Delische Problem von der Verdoppelung des Würfels; Menächmus als 
Entdecker der Kegelschnitte, die von Apollonius ausführlich behandelt werden; 
Unterschied der Geometrie der Inder (intuitive Erkenntnis) von der der Griechen 
(diskursive E.) ; Wertschätzung beider durch Schopenhauer. Selbständige Erfindung 
des Pythagoras durch die Inder; trotzdem liegt der Schwerpunkt der indischen Mathe- 
matik in der Zahlenlehre; daher ihr Positionssystem. 
Aber die Griechen sind es gewesen, welche die drei weltberühmten Probleme 
von der Dreiteilung des Winkels, der Verdoppelung des Würfels, von der Quadratur 
des Zirkels zuerst aufgestellt haben, an denen entlang sich, so kann man wohl sagen, 
die ganze Mathematik entwickelt hat, ähnlich wie die Chemie an der Alchemie. Was 
den Griechen aber nicht gelang, indem es ihnen unmöglich erschien, war die Ver- 
einigung von Zahlen und geometrischen Größen, oder die Auffassung der Zahl als 
einer stetigen Größe. Keinem Geringem als Descartes war es Vorbehalten, diesen 
ungeheuren Schritt vorwärts zu tun. Seit 1892 erst wird die analytische Geometrie 
auf den Gymnasien getrieben. Schon vorher hatte Du Bois-Reymond sie mit folgenden 
