Math. -physik. Sektion. 
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Sitzung am 8. März 1906. 
Professor W. Franz Meyer: 
Zur GALOisschen Theorie der Gleichungen, insbesondere derer vom 
vierten Grade. 
Der Zusammenhang der elementaren Auflösung der Gleichungen vierten Grades 
mit der GALOisschen Theorie tritt meines Erachtens am deutlichsten hervor bei der 
weniger bekannten CAUCHYschen !) Auflösungsmethode; man gewinnt von hier aus zu- 
gleich einen einfachen Eingang in die allgemeine GALOissche Theorie, die sich auf 
diese Art stufenweise aufbaut. Eine wesentliche Rolle spielt dabei eine Verallgemeine- 
rung eines LAGRANGE-SERRETschen Satzes. 
§ 1. 
Die CAUCHYsche Auflösung der Gleichungen vierten Grades. 
Man gehe von der reduzierten Gleichungsform aus: 
(1) f(x ) = x 4 6 a 2 x 1 2 -f- 4 a 3 x -f- a 4 = 0, 
die aus der allgemeinen Form: 
(2) ^ + 4& 1 ^ + 66 3 ^-M^ + & 4 Öf 0 
vermöge der Substitution: 
(3) y = x — b l 
hervorgeht. 
Nimmt man zunächst an, daß (1) vier Wurzeln x 0 , x\, x 2 , x 3 besitze, so ist 
deren Summe gemäß (1) gleich Null. Eine vierwertige Funktion x t [i = 0, 1, 2, 3) 
würde bereits in der Gestalt u Q -{-Ui darstellbar sein, wo u 0 , Ui zwei zweiwertige 
Quadratwurzeln bedeuten. Aber dann würde zwischen den vier Werten x i eine weitere 
Relation bestehen. 
Man gelangt daher zu dem Ansätze: x i = u 0 -f- % -f- m 2 , wo u 0 , u v u 2 drei 
zweiwertige Quadratwurzeln sind. Die acht Kombinationen der doppelten Vorzeichen 
in x i geben zu zwei Schemata Anlaß: 
( 4 ) 
u 0 H“ u \ H~ u 0 — u l — — u 0 "j“ U 1 — ^2, — Mo — % u 2 ’ 
— M 0 — Mj — M 2 , — M 0 -f- Mj -j- M 2 , -j— Mq — Mi -f- M 2 , Uq -|- Mi — M 2 , 
so, daß die Summe der vier Werte je eines Schemas verschwindet. Die Werte des 
einen Schemas sind nur die negativen von denen des andern Schemas. Jedes der 
beiden Schemata ist daher eindeutig charakterisiert, wenn man das Vorzeichen von 
w 0 Mi m 2 festlegt. 
Diese kombinatorische Vorbetrachtung begründet es, wenn man die Unbekannte 
x in (1) in drei (zweiwertige) Unbekannte m 0 , m x , m 2 spaltet, (und so die HuDDEsche 
Methode für die kubischen Gleichungen direkt verallgemeinert): 
(I) 
X — M 0 + Mi -f- M 2 , 
und dann die Quadrate der u als Wurzeln einer kubischen Resolvente zu be- 
stimmen sucht. 
1) Oauchy, Analyse algebrique Chap. X, § 3. Die Darstellung des § 1 weicht 
für den vorliegenden Zweck in einer Reihe von Punkten von der CAUCHYschen ab. 
