Math.-physik. Sektion. 
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Umgekehrt fließen hieraus sofort die La gr Aitf GEschen Formeln: 
(VII) 4m 0 = »o 4“ x i - x 2 ~ x & 4 m = x 0 + x 2 — x i ~ x & 4 u 2 = x 0 + *3 — x x — x 2 . 
Die Einsetzung der Werte x i aus (VI) in die Gleichung (1) lehrt, daß die 
letztere in der Tat durch die vier Werte (VI) erfüllt wird. 
§ 2 . 
Einführung der GALOiöschen Theorie. 
Drückt man vermöge (IV) und der ersten Formel (III) u\ und m 2 durch m 0 
aus, so kommt: 
(9) ^2 == — ( U 0 4“ ^ 2 )’ 2 Mi m 2 = 
v 7 Wo 
also: 
(10) (m! + m 2 ) 2 = — (mq 3a 2 ) — —j 
Uq 
Andererseits liefert (I): 
(11) (u t + W 2 ) 2 = (x — Mo) 2 . 
Demnach entstehen, wenn u irgend eine der drei zweiwertigen Größen u i 
(i = 0,1,2) bedeutet, die beiden in x quadratischen Relationen: 
(VIII) x 2 + 2 xm -|- (2 m 2 -|- 3a 2 ) ±— = 0. 
u 
Diese müssen aber für jedes der m 0 , u 1} m 2 gerade zu den vier Wurzeln x { der Gleichung 
(1) führen; in der Tat, wenn man etwa m 0 nimmt, so ist m 0 in x 0 und x v andererseits 
auch in cr 2 und x 3 symmetrisch, und die Vertauschung des Vorzeichens von m 0 ist 
gleichbedeutend mit der Vertauschung des Paares ( x Q , x^) mit dem Paare (x^, x 3 ). 
Man kann sich davon aber auch durch einfache Rechnung 1 ) überzeugen; auf Grund 
der Resolvente (V) erkennt man ohne Weiteres die Identität des Produktes der beiden 
quadratischen Formen (VIII) mit der Form f(x) (1) : 
(IX) f(x) = j (x 2 -f- 2 m 2 -f- 3 m 2 ) + (%xu — ^(x 2 -{-2u 2 + 3a 2 ) — (2xu — j 
= (x 2 -f- 2 m 2 -f- 3 « 2 ^ — (2 xu — ’ 
wodurch zugleich die Form f(x) als Differenz zweier Quadrate dargestellt ist, in 
Übereinstimmung mit dem Grundgedanken der alten FERRARischen Methode. Den 
drei Werten (VII) m 0? Mi, m 2 von m in (IX) entspricht die Teilung der vier Wurzeln cc^ 
in drei Doppelpaare. 
Nach Galois gelangt man zu den Gleichungen (VIII) direkt, ohne Kenntnis 
des Vorhergehenden, auf folgendem Wege. Geht man von der linearen, sechswertigen 
Funktion u = Xl ^ 002 ^4 aus, und permutiert bei Festhaltung von x 0 nur die 
drei übrigen Größen £c 1? x 2 , cr 3 , so fallen je zwei der sechs so resultierenden Werte 
1) Man kann auch mit einem der beiden in x quadratischen Polynome (VIII) 
in f(x) hineindividieren, und erhält, vermöge (V), als Quotient gerade das andere Poly- 
nom (VIII), während der Rest identisch verschwindet. 
