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Sitzungsberichte. 
von u zusammen, und man hat gerade die drei verschiedenen Werte u 0 , iq, in (VII) 
Bildet man sodann deren elementar -symmetrische Funktionen, so stellen sich diese 
fCgß) 
nach einfacher Rechnung mittels der Gleichung — = 0 ganz rational in a- 0 und 
X £Tq 
den Koeffizienten a k von (1) dar. Die u 0 , iq, u 2 sind sonach die Wurzeln einer in u 
kubischen Gleichung, deren Koeffizienten in x 0 ganzrational sind. Eine Abzählung 
des Grades in x 0 würde zunächst ergeben, daß derselbe gleich drei ist; in Wirklichkeit 
reduziert sich derselbe aber auf zwei, und man gewinnt, je nach dem Vorzeichen von u, 
gerade die beiden in x quadratischen Gleichungen (VIII). Jede derselben muß aber 
mit (1) f(x) — 0 zwei Wurzeln x ( gemein haben, da z. B. w 0 , wie schon bemerkt, sowohl 
in xq und aq, wie in x 2 und x 3 symmetrisch ist, und sich bei Wechsel des Vorzeichens 
von u 0 die beiden Paare (cc 0 , aq), (x 2 ,x 3 ) vertauschen. Aus den Gleichungen (VIII) 
lassen sich die Darstellungen (VI) leicht ableiten. 
Hierbei ist aber wohl zu beachten, daß innerhalb der allgemeinen GALOisschen 
Theorie der eben dargelegte Gedankengang eine nicht unerhebliche Modifikation 
erfährt *). 
Nach der allgemeinen Theorie wäre eine 24-wertige rationale Funktion der 
Wurzeln x i von (1) einzuführen, etwa V—x 0 — aq -j- i (x 2 — x 3 ), wo i die imaginäre 
Einheit ist, sodann die Gleichung sechsten Grades aufzustellen, deren Wurzeln aus 
y=y 0 bei Festhaltung von a? 0 durch Permutation der aq x^ x 3 hervorgehen, und es 
wären sodann deren Koeffizienten ganzrational in x 0 auszudrücken. Diese Gleichung 
in x Q hat eine und nur eine Wurzel mit f[pc 0 ) = 0 gemein, und der Euklidische Algo- 
rithmus liefert dann x 0 als rationale Funktion von V. 
Die zugehörige Rechnung ist zwar durchführbar, aber mühsam und undurchsichtig 1 2 ). 
Bei dem vorhergehenden Verfahren, dem die sechswertige rationale Funktion 
w = - X ° — X2 — zugrunde lag, wird zwar x 0 nicht mehr rational in u, sondern 
eine quadratische Irrationalität in u, dafür gibt diese aber unmittelbar die Zerfällung 
von f(x) in zwei in x quadratische Faktoren. 
1) Dagegen stimmt bei der kubischen Gleichung die HuDDEsche Auflösungs- 
methode mit der GALOisschen Theorie überein. Sind nämlich cr 0 , aq, x 2 die Wurzeln 
der in reduzierter Form vorgelegten Gleichung f(x) = x B -f- 3a 2 x -j- a 3 = 0, sind ferner 
a und 73 die beiden komplexen kubischen Einheitswurzeln, so setzt man mit Galois 
u — X ° 8 X * 71X2 , wo u eine sechswertige Funktion ist. Hält man hier x 0 fest, und 
permutiert nur x t , x 2 , so entstehen zwei Werte u 0 , u x von u, die Wurzeln einer quadra- 
tischen Gleichung in einer Unbekannten u, deren Koeffizienten ganz und linear in <r 0 
2 
u 0 — ci 2 dn 
ü 2 — ux 0 — a 2 — 0, sodaß sich x 0 rational in u 0 darstellt: x 0 — =% 
Uq Uq 
sind: 
Aber diese Relation ist völlig identisch mit der HuDDEschen Transformations- 
formel: x = Uq-\-u v wo u 0 Ui = — a 2 , und umgekehrt erkennt man so erst die wahre 
Bedeutung der HuDDEschen Transformation. Dabei ergibt sich sofort m 3 = t als die 
Wurzel der quadratischen Resolvente t 2 — a 3 t -f- a\ = 0 , und gemäß den drei Werten 
von u = \Jt zerlegt sich f(x) in drei in x lineare Faktoren. 
2) S. die Königsberger Dissertation von F. Glage, Anwendung der Gruppen- 
theorie auf die irreduzibeln Gleichungen sechsten Grades, 1899. 
