Math. -physik. Sektion. 
49 
§ 3. 
Successive Adjunktion rationaler Wurzeifunktionen beim Prozeß der 
Auflösung der biquadratischen Gleichung. 
Wir denken uns die Koeffizienten a k von (1) als beliebig gegebene Zahlgrößen 
eines Körpers 72; dann sind nur die symmetrischen Funktionen der Wurzeln x i bekannt, 
während eine beliebige rationale Funktion der x i gegenüber den 24 Substitutionen 
der Xp die eine Gruppe G = G 2 4 bilden, 24 verschiedene Werte annimmt. 
Um die kubische Resolvente (V) P = 0 aufzulösen, bedarf es bekanntlich zu- 
nächst des Ausziehens der Quadratwurzel aus der Diskriminante D, d. i. des Quadrates 
des Differenzen produktes der Wurzeln p 0 , (q, p 2 von (V). 
Mittels der Formeln (VI) ist leicht zu zeigen, daß D bis auf einen Zahlfaktor 
zugleich die Diskriminante von /*(!) selbst ist, d. i. das Quadrat des Differenzen- 
produktes 77 der Xp 
Sieht man diese Größe 77 als rational bekannt an, adjungiert sie also dem 
Körper 22, so erweitert sich dieser zu einem Körper <2 (77) = 22'. 77 und damit jede 
rationale Funktion von 77 gehört zur Gruppe *12 der geraden Vertauschungen der x i 
d. h. bleibt nur bei diesen unverändert. 
Um die kubische Resolvente (V)7> = 0 vollständig aufzulösen, bedarf es noch 
des Ausziehens einer Kubikwurzel. Denkt man sich auch diese adjungiert, wodurch 
sich der Körper 72' zu 22" erweitere, so sind nunmehr die Quadrate der drei Größen 
w 0 , Mi, w 2 (VII) rational bekannt, also die drei Funktionen: 
(12) (xq -\-x x — x 2 — x 3 ) 2 , (i x 0 -j-x 2 — x 1 — x 3 ) 2 , (x 0 + x 3 ~ ~ x 2 )2 - 
Diese (nebst 77) bleiben in ihrer Gesamtheit ersichtlich ungeändert nur bei den 
vier Substitutionen: 
(13) 1, (ar 0 , Xi) {x 2 , x 3 ), (x Q , x 2 ) (x v x 3 \ {x 0 , x 3 ) (xi, x 2 ), 
wo (xp x k ) die Transposition bedeutet, die x i mit x k vertauscht, (x p x k ) {x v x m ) die 
gleichzeitige Ausführung der beiden Transpositionen ( Xp x k ) (x t , x m ) anzeigt, und 1 das 
Zeichen der identischen Substitution ist, die jedes Element an seiner Stelle beläßt. 
Wie sofort zu konstatieren, bilden die vier Substitutionen eine Gruppe r 4 der Xp 
Denkt man sich weiterhin die Quadratwurzel aus einer der Größen (12), etwa 
der ersten adjungiert, wodurch sich IL“ zu Sl“ 1 erweitere, so sind nunmehr die rationalen 
Funktionen (nebst 77): 
(14) x 0 + a?i — x 2 — x 3 , (a* 0 + x 2 — x x — x 3 ) 2 , (x 0 + x 3 — x x — x 2 ) 2 
als bekannt anzusehen, und diese bleiben in ihrer Gesamtheit nur ungeändert bei den 
zwei Substitutionen der Gruppe r 2 : 
(15) 1, ^1») (®£| *8)- 
Endlich liefert die Adjunktion der Quadratwurzel aus einer der beiden letzten 
Größen (14), und damit gemäß (IV) auch der andern, wodurch Q“ 1 in übergehe, 
das System der drei linearen Funktionen (VI) und damit der x i selbst, die zusammen 
nur bei der Gruppe 7) der identischen Substitution invariant bleiben. 
Schriften d. Physik. -Ökonom. Gesellschaft. Jahrgang XL VII. 
4 
