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Sitzungsberichte. 
So gehört zu jeder der erfolgten Adjunktionen ein bestimmtes System rational 
bekannter rationaler Funktionen 1 ) der Wurzeln cc f und zugleich je eine bestimmte 
bestimmte Untergruppe r(*) der ursprünglichen Gruppe Gr. Offenbar bleibt auch jede 
rationale Funktion «#> der rationalen Funktionen je eines Systems bei der zugehörigen 
Gruppe ungeändert, und die Gesamtheit dieser nur bei dieser Gruppe. 
Es erhebt sich nunmehr die umgekehrte Frage, ob auch jede rationale 
Funktion der x iy die gegenüber den Substitutionen einer der Gruppen r( k ) ihren 
numerischen Wert nicht ändert, auch stets dem entsprechenden Körper I2(*) an gehört, 
d. h. durch die bereits adjungierten rationalen Funktionen der x. rational dar- 
stellbar ist. 
Wäre diese Frage zu bejahen, so ließen sich die fraglichen Gruppen 7"W durch 
die Doppeleigenschaft charakterisieren, daß jede rationale Funktion der Wurzeln x { , 
die ihren numerischen Wert bei einer vorgelegten Gruppe JX*)' behält, dem ent- 
sprechenden Körper £l( k ) angehört, und umgekehrt. Damit wäre man aber direkt 
zur GALOisschen Definition der Gruppe /X*) einer Gleichung gelangt. 
§ 4 . 
Der Lagrange- Sekret sehe Satz und seine Erweiterung. 
I. A. Serret 2 ) hat einen Fundamentalsatz von Lagrange über ähnliche Funk- 
tionen dahin erweitert: 
(X) »Sind :r 0 , x x . . x n _ 1 unabhängige Größen, und läßt eine rationale 
Funktion y (a? 0 , x x . . a5 f> _ 1 ) die Gruppe T ^ der x i zu, die zu einer 
rationalen Funktion V (# 0 > • . *„_■]) gehört, so ist y durch V 
rational darstellbar, mit Koeffizienten, die rational in den 
elementarsymmetrischen Funktionen a k der x i sind.« 
Die Ausdrücke »gehören« und »zulassen« besagen, daß V seinen numerischen 
Wert bei den Substitutionen von T und nur bei diesen, behält, während von y bloß 
verlangt wird, daß y seinen numerischen Wert bei den Substitutionen von behält, 
außerdem aber möglicherweise noch bei andern Substitutionen. Der Index jx gibt an, 
daß r ^ aus fx Substitutionen: 
(16) 1, Si, S 2 ,.. Sp-i 
besteht. 
Mit Benützung einer DEDEKiNDschen Idee 3 ) läßt sich der Beweis sehr 
einfach führen. 
Unterwirft man V allen N = nl = [iv Substitutionen der x ir so nimmt V genau 
v verschiedene Werte an: 
(nt r 0 , Vt, ... v v - 1 , 
während die entsprechenden v Werte von y\ 
(18) 2/o > Vi> • • Vv-i 
1) Richtiger sollte es statt Funktion »Ausdruck« heißen, da bei festgedachten 
Koeffizienten a auch die Wurzeln x i festgegebene Größen darstellen. 
2) s. Serrets Algöbre supörieure, t. II, part. IV, chap. 5. 
3) Dieselbe hat auch H. Weber in seiner »Algebra«, Bd. I, Buch 3 wiederholt 
zur Verwendung gebracht. 
