Math. -physik. Sektion. 
51 
im allgemeinen nicht mehr alle verschieden ausfallen, sondern, wie leicht zu zeigen, 
in lauter Komplexe von je p gleichen zerfallen. 
Bei dieser Gelegenheit sei bemerkt, daß die beiden in Nr. 491 daselbst an- 
gegebenen Sätze über Produkt und Summe rationaler Ausdrücke unrichtig sind. 
Man setze: 
(19) 
^(F) = (F-Fo)(F-F 1 ). 
und: 
i=v-i y { 
(20) 
,£„ v-vr 
- V(F), 
so ist </> ( F ) in den x i symmetrisch, und somit rational in den a k . Aus (20) geht aber, 
wenn man z. B. V = F 0 setzt, und bedenkt, daß: 
(21) (F 0 - Fi) ( F 0 — F 2 ) . . . ( F 0 - V v —i) = ^ ( F 0 ), 
die gewünschte rationale Darstellung von y 0 in Fo> und damit von in V t - hervor: 
<p ( y<) 
(X) y i — (y,) d — v 1)* 
Dies ist der Satz von Lagrange - Serret. *) 
Um ihn auf eine beliebige Anzahl rationaler Funktionen F, F^, F (2 ^, . . . der 
x i auszudehnen, so mögen zu diesen die Substitutionsgruppen r , r^\ . . . ge- 
hören. Dann bilden bekanntlich sämtliche, in r, r^\ r^ 2 \ . . . zugleich enthaltene 
Substitutionen wiederum eine Gruppe, etw T a von fx Substitutionen, r 
Sei dann y eine rationale Funktion der die sicher bei allen Substitutionen 
der x. ihren numerischen Wert nicht ändere, bei denen die F, F^\ V®\ • . • zugleich 
umgeändert bleiben, möglicherweise aber noch bei weiteren Substitutionen, so läßt y 
die Gruppe r ^ zu. 
Ferner sei 
(22) TF = TF ( F (0) , F (1) , F (2) , . . . ) 
eine rationale Funktion der F, V^\ F^ . . . , die in diesen Argumenten ganz un- 
symmetrisch sei (z. B. eine ganze lineare Funktion mit geeigneten rationalen Zahlen 
als Koeffizienten), also bei allen Vertauschungen der F, F^V F^ 2 \ . . lauter ver- 
schiedene Werte annehme. Dann bleibt TF als Funktion der x i , bei den und nur 
bei den Substitutionen der x i ungeändert, die alle F zugleich invariant lassen, d. i. bei 
den Substitutionen von r u . 
Damit tritt im Satze (X) bloß TF an die Stelle von F; y ist rational in 12, und 
damit in allen F, F (1) , F (2) ■ • • 
1) Für den einfachsten Fall fx = 1, wo also F in den ganz unsymmetrisch 
ist, d. h. bei allen N Vertauschungen der x i auch N verschiedene Werte annimmt, ist 
jede rationale Funktion y der x i rational in F darstellbar, insbesondere demnach 
auch die x i selbst. Das Letztere ist aber gerade der erste Satz der GALOisschen 
allgemeinen Theorie. Vgl. z. B. Serret, Algbbre sup., t. II, Nr. 502. 
4 
