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Sitzungsberichte. 
Der erweiterte La orange- SERRETsche Satz lautet demnach 1 2 * ): 
(X'j »Läßt eine rationale Funktion y (oc 0 , x x . . £C M _ 1 ) alle Substitu- 
tionen der x i zu, die die gegebenen rationalen Funktionen F, F^, 
V^\ ... der x i zugleich invariant lassen, so ist y rational in den 
V, V®\ • • darstellbar.« 
Verbindet man dies Ergebnis mit den Entwicklungen des § 3, so ergibt sich 
der grundlegende Satz: 
(XI) »Die GALOlSsche Gruppe einer Gleichung: 
/ 0*0 = x n -\- a 1 W 1 -j- • • • -f- a n = (x — x 0 ) (x — x x ) . . . (x — x n _^) = 0 
mit den (ungleichen) Wurzeln x 0 , x v . . x n—1 , wo die Koeffizienten 
a i einem ursprünglichen Körper 21 angehören, während dieser 
Körper durch Adjunktion einer Reihe rationaler Funktionen 
F, V^\ . . . der x { (mit in <2 enthaltenen Koeffizienten) in 
einem erweiterten Körper 21‘ übergehe, ist die gemeinsame Substi- 
tutionsgruppe (in den x t ) der T 7 , F^, F^ . . . .« 
Zugleich lehrt der Beweis des Satzes (X') die Richtigkeit des Korollars: 
(XII) »Der durch Adjunktion einer beliebigen Reihe rationaler 
Funktionen V, V^\ V®\ • • der x i aus 21 hervorgehende Körper 
21 ( F, F^\ F^. . •) läßt sich stets auffassen als ein Körper!! ( W)===21‘, 
der durch Adjunktion einer einzigen rationalen Funktion W 
(der F, F (1) , F (2) . . . und damit) der x { aus 21 erwächst.« 
Der Satz (XII) bildet eine spezifische Unterart des allgemeinen GALOlsschen 
Satzes, wonach die Adjunktion beliebig vieler irrationaler Funktionen der x i durch die 
einer einzigen solchen ersetzbar ist. 
Damit ist ein wohl abgegrenzter Teil der GALOlsschen Theorie mit elementaren 
Mitteln aufgebaut, nämlich auf Grund des Hauptsatzes der Theorie der symmetrischen 
Funktionen, sowie der einfachsten Eigenschaften der Substitutionsgruppen. Gerade 
dieser Teil kommt aber in der Theorie der Gleichungen, wenn es sich nicht in erster 
Linie um deren algebraische Auflösbarkeit handelt, sondern vorerst um die Aufstellung 
gewisser kanonischer Gleichungsformen, zunächst zur Anwendung. Man versucht eben 
zuvörderst, was sich durch Adjunktion nur rationaler Funktionen der Wurzeln x i 
erzielen läßt, und erst wenn dieses Hilfsmittel erschöpft ist, greift man zur Adjunktion 
weiterer irrationaler Funktionen, und bedarf zu dem Zwecke der höheren GALOlsschen 
Theorie. 
1) In dem einfachsten Falle fx = 1 läßt sich wieder jedes x i rational in den 
F, F (1) , F^V- • • darstellen. Ein Beispiel bieten die Gleichungen vierten Grades; denn 
nach (I), (IV) wird x i = Ui~ j- w 2 — > und % bleiben zugleich nur bei der 
2 U\ U.2 
identischen Substitution ungeändert. 
