Math. -physik. Sektion. 
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Das charakteristische Hilfsmittel dieser höheren Theorie ist aber der in obigem 
noch nicht benutzte ÄBELsche Satz über irreduzible Gleichungen, wonach eine 
Gleichung, deren Koeffizienten irgend einem erweiterten Körper angehören, wenn 
sie nur eine einzige Wurzel einer in Sl 1 irreduzibeln Gleichung (mit Koeffizienten in £1‘) 
zuläßt, sie alle Wurzeln derselben zuläßt. 
§ 5. 
Successive Zerfällung der GALOiSschen Resolvente der biquadratischen 
Gleichung. 
Die Sätze des § 4 finden eine unmittelbare Anwendung bei der im Sinne der 
allgemeinen GALOiSschen Theorie zu stellenden Aufgabe, die GALOissche Resolvente 
d, i. die Gleichung 24. Grades für eine 24wertige Funktion der Wurzeln z. B. für die 
LAGRANGEsche: 
(23) V 0 — x 0 + ix 2 -j- i 2 x l -f- i s x 3 = x 0 — x t - j- i (x 2 — x 3 ) 
gemäß den in § 3 vorgenommenen Adjunktionen in irreduzible Faktoren zu zerlegen. 
Diese Faktoren sind nach Galois, entsprechend den Gruppen *12 A r 2 vom Grade 
12, 4, 2 in der Unbekannten. Wollte man die Rechnung in dieser Reihenfolge aus- 
führen, würde man auf erhebliche Schwierigkeiten stoßen. 
Verfährt man indessen umgekehrt, und steigt von der U 2 herauf zur r 4 , r 12 , 
und endlich zur G 24 i so gelangt man mit mäßigem Aufwand von Rechnung zum Ziele. 
Vermöge der Substitutionen (15) der r 2 : 
(15) 1, (a? 0 , x x ) (x 2 ,x 3 ) 
nimmt der Ausdruck (23) die beiden Werte V 0 und — V 0 an. F 0 genügt daher der 
quadratischen Gleichung : 
(24) (7-7 0 ) (7+7 ö ) = 7 2 -7g = 0. 
Hier muß Fq dem Körper £l ut angehören, sich also nach § 4 rational durch 
w 0 , Up w 2 (VII), d. i. durch die Größen (14) ausdrücken lassen. 
Man hat zunächst: 
(2) V 2 0 = (% — . x t ) 2 — (x 2 — x 3 ) 2 -f- 2 i(x 0 ~ aq) (x 2 — x 3 ). 
Die Ausdrücke (VII) für Up u 2 liefern sofort, mit Rücksicht auf (IV): 
1 4(uf — u$) = (x 0 — x 1 )(x 2 —x 3 ), 
(26) 
16u 1 u 2 = (xq—x^ 2 — (x s —x 3 ) 2 = 
Vq ist damit rational in u () , u\, tt 2 gebildet. 
Führt man die bequemere Bezeichnung ein: 
8 an 
(27) 
= £, — ^ = 
8 8 
so nimmt wegen (26) die in <l >n irreduzible, in V quadratische Gleichung (24) die 
Gestalt an: 
(XIII a) F 2 = Z- ^ = Z r- ^2 Ui «2 + i («,— «|)J = 0. 
