Math.-physik. Sektion, 
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auf der die Methode der Transformation der Variabein beruht. Zum Beweise der 
Relation (5) genügt es zu zeigen, daß 
f(XY) = c (6) 
das allgemeine Integral der Differentialgleichung (2) ist. Denke ich mir in (6) 
tj durch seinen Ausdruck in £ und c ersetzt, so entsteht eine Identität in £ und c, 
aus der durch Differentiation nach £ die weitere folgt: 
dX\dS By d£/^"5Y\5£ ' dy d £ ) U ‘ 
( 7 ) 
Da f(xy) der zu (1) associierten partiellen Differentialgleichung: 
~Q(xy) --^-P(xy) = 0 (8) 
genügt, so besteht ferner die Identität in £ und c : 
^§(XY)-^?(XY)- 0. (9) 
Die Determinante der Gleichungen (7) und (9) muß verschwinden, d. h. wir haben: 
dY SY dy 
<?£ + By d£ P(XY ) 
BX_ , d Ji<PL~ Q {XY) ’ 
<?£ Br] d£ 
Mithin genügt der Differentialgleichung (2), was zu beweisen war. 
Die Methode der Transformation der Variabein erlangt selbständige Be- 
deutung, wenn es sich um das Problem handelt, die vorgelegte Differential- 
gleichung auf eine schon integrierte Form zurückzuführen. Aber auch für die 
direkte Integration stellt die Variabeintransformation ein oft unentbehrliches Hilfs- 
mittel dar. Von den direkten Integrationsmethoden sind die wichtigsten die älteren 
Methoden der Variablentrennung und des Multiplikators und die moderne Methode 
der kontinuierlichen Transformationsgruppen von Lie. Die Analyse dieser Me- 
thoden wird uns im folgenden beschäftigen. 
Ist in der transformierten Differentialgleichung (2) R ($y) eine Funktion von 
£ allein und S(£y) eine Funktion von y allein, so läßt sich die Integration un- 
mittelbar vollziehen. Der Gedanke, diese »Trennung der Variabein- durch passende 
Transformation der Differentialgleichung zu bewirken, bildet den Kern der ersten 
unsrer Methoden. Die zweite knüpft an die associierte partielle Differentialgleichung 
(8) an. Dieselbe zeigt uns, daß zu jedem Integral f eine Funktion M existiert, 
so daß die Gleichungen bestehen: 
df Bf 
MP=s ~k = ( 10 > 
Ist umgekehrt ein »Multiplikator« ilf bekannt, der diese Gleichungen befriedigt, 
so läßt sich das Integral f durch zwei Quadraturen ermitteln. Man sieht, daß M 
der partiellen Differentialgleichung: 
B(MP) _^ B(MQ ) 
By Bx 
