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Sitzungsberichte. 
genügt; andrerseits läßt sich nach weisen, daß jedes Integral dieser Gleichung Multi- 
plikator ist. Die Aufsuchung eines Multiplikators geschieht unter Umständen mit 
Vorteil erst nach Transformation der Differentialgleichung. Ist nämlich M{xy) 
ein Multiplikator der ursprünglichen Differentialgleichung, so ist 
+ <?J F 
u(, n ) = M{ XY) • / ., ?v 
ein Multiplikator der transformierten, und es wäre ja möglich, daß sein Ausdruck 
besonders einfach wird. Die Methode der Trennung der Variabein läßt sich 
übrigens als Spezialfall der Methode des Multiplikators auffassen, indem nämlich 
eine Differentialgleichung, in der die Variabein getrennt sind, eine beliebige Kon- 
stante zum Multiplikator hat. 
Wir wenden uns der Methode der kontinuierlichen Transformationsgr uppen 
von Lie zu, die mit den eben besprochenen Methoden in engem Zusammenhänge 
steht. Wir definieren : 
x =(p (i xyt ) y =; rf> ( xyt ) (11) 
heißt eine einparametrige kontinuierliche Gruppe von Transformationen, wenn <p 
und i// den Differentialgleichungen: 
2 ( 12) 
und den Anfangsbedingungen 
(p {xy 0) = x rp ( ; xy 0 ) = y (18) 
genügen. Um die Beziehung der Gruppentheorie zur Theorie der Differential- 
gleichungen ins Licht zu setzen, geben wir die weitere Definition: Eine Differential- 
gleichung (1) besitzt die Gruppe (11) bezw. sie bleibt gegenüber derselben invariant, 
wenn sie ihre Form nicht ändert, falls wir für x (p {xyt) und für y i/> {xyt) ein- 
setzen. Wir wollen die notwendige und hinreichende Bedingung dafür aufstellen, 
daß (1) gegenüber der Gruppe (p , t/> invariant bleibt. Ersetzen wir in (1) x durch 
( p{xyt ) und y durch ip {xyt), so erhalten wir nach (2): 
dy _ _ 
Für t = 0 nimmt diese Differentialgleichung bereits die erforderliche Gestalt (1) 
an. Es genügt also die Bedingung dafür aufzustellen, daß die rechte Seite von t 
frei ist. Wir bilden den Differentialquotienten der rechten Seite nach t, schreiben 
aber nur den Zähler hin : 
