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Sitzungsberichte. 
Wir sind jetzt imstande, die entscheidende Bedeutung der LiEschen Methode für 
das Integrationsproblem unmittelbar einzusehen. In der Tat ist eine Differential- 
gleichung, von der wir eine Gruppe kennen, stets auf Quadraturen zurückführbar. 
Ist (f, \jj bezw. <#>, P diese Gruppe, so existiert nach (III) stets ein Integral der 
Differentialgleichung, das der partiellen Differentialgleichung genügt: 
cf df 
__ — (p _f_ — — 
cx dy 
P = 1. 
Andererseits genügt f der associierten Differentialgleichung: 
3f_ 
dy 
f« 
0. 
( 8 ) 
Aus diesen Gleichungen lassen sich die partiellen Ableitungen von f berechnen : 
IL= P . 1 3 L = o L ( i4) 
und man erhält f durch zwei Quadraturen. Aus (14) folgt übrigens die Identität : 
dy \PP -f QPJ dx \PP + 0 P J ’ 
die — wie man sich durch Ausrechnung leicht überzeugt — im wesentlichen mit 
der Bedingung (I) identisch ist. Diese Bemerkung ist wichtig, weil sie uns die 
Gewißheit gibt, daß die Bedingung (III) auch hinreichend ist. 
Die Methode von Lie vermag eine interessante Zusammenfassung der Me- 
thoden der Yariabelntrennung und des Multiplikators zu geben. Die innige Be- 
ziehung zwischen den drei Methoden kommt in folgenden Sätzen zum Ausdruck: 
1. Falls die Trennung der Variabein durchführbar ist bezw. ein Multiplikator be- 
kannt ist, läßt sich eine endliche bezw. infinitesimale Transformationsgruppe an- 
geben, die die Differentialgleichung invariant läßt. 2. Falls eine Transformations- 
gruppe bekannt ist, so ist die Trennung der Variabein oder die Aufstellung eines 
Multiplikators möglich, je nachdem die Gruppe durch ihre endlichen Gleichungen 
oder durch ihre infinitesimale Transformation gegeben ist. Der Beweis dieser 
Sätze wird uns im folgenden beschäftigen. 
Der Fall des Multiplikators erledigt sich im Augenblick. Ist ein Multi- 
plikator M bekannt, so lassen sich stets zwei Funktionen P und P so bestimmen, 
daß 
-f QP = 
1 
M 
ist. Hieraus aber folgt zunächst: 
und dann nach (10): 
MP • <#> + MQ • 1 
df_ 
dx 
i r_ 
dy 
1. 
Die Funktionen <P und P erfüllen also die Bedingung (III; und bestimmen eine 
infinitesimale Transformation der Differentialgleichung. Ist umgekehrt eine infini- 
tesimale Transformation <#>, P der Differentialgleichung bekannt, so ist — wie die 
Gleichungen (14) zeigen — der Ausdruck: 
ein Multiplikator. 
1 
PP + QP 
