Math.-physik. Sektion. 
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Wir kommen zum Fall der Variabeintrennung. Die Trennung der Variabein 
ist wesentlich eine Eigenschaft der transformierten Differentialgleichung. Es wird 
daher notwendig, das Verhalten einer Gruppe bei Transformation der Differential- 
gleichung zu studieren. 
dy = Pjxy) 
dx Q (xy) 
sei die ursprüngliche, 
jjjj R (&) 21 
dl S{&i) ' J 
sei die transformierte Differentialgleichung. Ferner sei eine Gruppe <p, \p bezw. 
der ersten Differentialgleichung bekannt; wir behaupten, daß sich stets eine 
ihr entsprechende Gruppe u, v bezw. U, V in bezug auf die zweite Differential- 
gleichung aufstellen läßt. Ist F (£y) ein Integral der Differentialgleichung (2), 
f(xy) ein Integral der Differentialgleichung (1), so gilt die Identität: 
F [l [xy) y (xy)] = w [f(xy)] , (5) 
oder wenn wir x und y durch und \p ersetzen: 
F [l ((pi p) y ((p!j)] = o> [f (ffip)] . (15) 
Da aber </>, xp eine Gruppe, <w j/Xscy)] ein Integral der Differentialgleichung (1) ist, 
so gilt nach (II) die Identität: 
w \f( ( FP)] =W\o> [f(xy)\ t j, 
oder wenn wir sie auf die Gleichungen (5) und (15) anwenden, die folgende: 
F [l (yrp) y (<pp)\ = W | F [l (xy) y xy)] t \ . 
Fassen wir diese Gleichung als Identität in I und y auf, so lehrt der Vergleich 
mit (II), daß 
u = f[(f ( xYt ) ip (xyo] 
v=n[,p(XYt) xp (xr<)] 
die endlichen Gleichungen einer Gruppe der Differentialgleichung (2) darstellen, 
vorausgesetzt, daß diese Gleichungen wirklich die Gruppeneigenschaften (s. Def.) 
besitzen. Um hierüber Aufschluß zu bekommen, differenzieren wir die Gleichungen 
(16) nach t und erhalten: 
du 
dt 
dv 
dt 
c>l_ 
acp 
dy 
dy) 
[<p(XYt)xp(XYt)] 
' [<f(XYt)xp(XYt)\ 
[y (XYt) i p (IR)] 
■ [y (XYt) Xp (XYi)] 
(17) 
In diesen Gleichungen hat man die Ausdrücke (f(XYt) und *p(XYt) mittels der 
Gleichungen (16) durch u und v ausgedrückt zu denken. Es ist jetzt klar, daß 
die Gleichungen (16) wirklich eine Gruppe definieren, denn einmal sind nach (17) 
clxt dv 
die Ableitungen — r— und Funktionen von u und v allein und andererseits ist in 
dt dt 
(16) die identische Transformation: 
u — I 
v — y 
