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Sitzungsberichte. 
für den Parameterwert t = 0 enthalten. Aus (17) erkennen wir, daß sich die in- 
finitesimalen Transformationen U (ly) und V (£y], wenn wir uns eines oben ein- 
geführten Symbols bedienen, in der einfachen Form schreiben lassen: 
u($rj)±=xz v(Zy)==Xy, 
worin wir uns rechts die x und y als Funktionen der £ und y zu denken haben’ 
Die Anwendung dieser Untersuchung auf den Beweis unsrer Sätze vollzieht 
sich nun so: Wir nehmen an, in der transformierten Differentialgleichung (2) 
seien die Variabein getrennt; und zwar soll sie — wie wir stets voraussetzen 
dürfen — die Form haben: 
Dann besitzt diese Differentialgleichung, wie man augenblicklich erkennt, die Ver- 
schiebungsgruppe : 
£' = £ y = y + t. 
Die ihr entsprechende Gruppe <p , ip der ursprünglichen Differentialgleichung finden 
wir nach (16) aus den Gleichungen: 
dl 
XI = 4» -f- 
dx 
*P=1 
(18) 
£ (xy) = £ {(pip) y (xy) -\-t = y (<pip). 
Sie sind nichts anderes, als die Gleichungen der Gruppe (p , ip in ihrer Normalform. 
Es sei umgekehrt eine Gruppe <p, ip der Differentialgleichung (1) durch ihre 
endlichen Gleichungen bekannt; dann behaupten wir, daß sich stets eine Trans- 
formation £, y finden läßt, die die Trennung der Variabein herbeiführt. Es geuügt 
hierzu, die Funktionen £ und y aus den Differentialgleichungen: 
#«'-o *-£*+# 
zu bestimmen. Dann läßt die transformierte Differentialgleichung die infinitesimale 
Transformation 
U (£*?) = 0 V (ly) = 1 
zu, der die Verschiebungsgruppe: 
£' = £ y — y + t 
entspricht. Was können wir aus der Invarianz der Differentialgleichung (2) 
gegenüber dieser Gruppe schließen? Wir bemerken, daß die linke Seite der 
Differentialgleichung invariant ist, die rechte muß es auch sein, also ist sie frei 
von y, was zu beweisen war. Noch ein Wort zur Integration der Differential- 
gleichungen (18). Der Kenner sieht sofort, daß £ die Invariante der Gruppe und 
durch Elimination zu bestimmen ist. Setzen wir sodann: 
y — h(xl), 
so erhalten wir zur Bestimmung von h die Differentialgleichung: 
dh 
dx 
* + 
u 
£ V 
££_ 
dy 
'H- 
Da das zweite Glied der linken Seite verschwindet, so folgt h durch eine Quadratur. 
An der Diskussion beteiligen sich die Herren Professoren Fr. Meyer und 
Schoenflies. 
