66 
Sitzungsberichte: Math. -physik. Sektion. 
dann ist: 
(ii) <?■= Vd> - * = -£-, 
also immer rational 1 ); das Weitere ist wie früher, doch werde noch Folgendes bemerkt: 
Statt zur Prüfung der Richtigkeit von u und v die Gleichung (2) zu benutzen, kann 
man auch die in der Anmerkung aufgestellte Gleichung (a) 
oder 
( 12 ) 
a-=u ( 4:u 2 — 3 c) 
zur Berechnung von u anwenden, und wenn man sie mit 2 multipliziert und 2 u = x 
setzt, so erhält man genau die Gleichung (7) für x. Das heißt mit anderen Worten: 
Girard macht die Lösung seiner Aufgabe von der Auflösung einer 
kubischen Gleichung (12) oder (7) mittels zweckdienlicher Versuche 
abhängig 2 ), nur daß bei seiner Methode deutlich die Beschränkung der in 
Betracht kommenden Factoren des letzten Gliedes in (12) hervortritt, 
während dies bei der gewöhnlichen Methode, wenn p positiv ist, nicht geschieht. 
In diesem Falle (eines positiven p) läßt sich u noch weiter einschränken. Aus 
(6) und (11) folgt nämlich: 
(13) v = u 2 -j , 
3 
und da v positiv ist, muß u^> y ~ sein, sodaß u zwischen Vi und Vi liegt. — 
Ist p negativ, so fällt die eine Begrenzung von u fort, doch folgt aus (12), daß u 
3 3 3 _ 
nicht nur << y sondern < Vi °deri yq ist. Sind u und v gefunden, so folgt 
[vgl. die Gleichungen (1) und (4)]: 
U = u~V Vv, V —u — Vv 
also sind, da die 3 Wurzeln jeder kubischen Gleichung von der Form (7): 
rr , TT U + V , . J| Ü-V 
X\ = U + 7 , x%, 3 =^= 2 — ztiVi ■ — 2 — 
sind, dieselben: 
(14) x 1 — 2 n, x% : 3 = — u zh i V3 • V c. 
Beispiel : a 3 -f- 2x — 135 = 0, also p = — 2, g = 135. 
1) Schon von Girard unter der Voraussetzung der Bedingung (8) und einer 
ganzzahligen positiven Wurzel von (7) (ohne Beweis) angegeben. A. a. O. Blatt C 3 
Vorderseite. 
2) Ebenso wie bei der entsprechenden Aufgabe betreffs V' a -f- Vb die Auf- 
lösung einer quadratischen Gleichung erforderlich ist. Übrigens geht aus Girards 
Beispielen implicite hervor, daß, wenn obige Wurzel = Vu 4- Vv gesetzt wird, nicht 
immer u + v = dem Rationalen und 2 Vnv = dem Irrationalen, sondern u-\-v= der 
größeren, 2 Vuv == der kleineren der beiden (positiv gedachten) Zahlen a und Vb zu 
setzen ist. Beispiel V 3 V 2 — j— 4. 
