Saalschütz: Über die Darstellung der rationalen echten Brüche etc. 
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wird nun C als Summe von Potenzen der Zahl 2 dargestellt, so ist die Aufgabe gelöst, 
wenngleich nicht in der einfachsten Form, doch läßt sich diese durch Zusammen- 
fassung geeigneter Summanden immer erreichen. 
Ist 1 : p ]c zur Umwandlung vorgelegt, so setze man 
p= 22»./— ‘ — 1, Q = slp, 
mache wieder C = Ry — Q positiv und hat : 
r _ 
p k 
etc. wie früher. 1 ) 
Soll 1 /N, worin N ein Produkt relativer Primzahlen ist, umgeformt werden, 
so läßt sich immer y als so hohe Potenz von 2 wählen, daß der (echte oder unechte! 
Bruch y/N als eine Summe positiver Partialbrüche der bisher behandelten Art dar- 
gestellt werden kann. Dies geschieht mittels einer Modifikation der Gauss sehen 
Methode 2 ), doch soll darauf an dieser Stelle nicht näher eingegangen werden. Nur 
beachte man, daß der Bruch a/p durch Zerlegung des Zählers a in Potenzen von 2 
sich auf 1/p reduzieren läßt (ebenso alp 1 auf i/p k ). 
Ein zweites, in vielen Fällen einfacheres Mittel zur Lösung derselben Aufgabe 
bietet die Dyadenrechnung dar. Ebenso wie jeder echte Bruch durch die Verwandlung 
in einen Dezimalbruch in eine Summe von Potenzen von 1 / 10 umgeformt wird, so bei 
der Verwandlung in einen Dualbruch in eine Summe von Potenzen von 1 / 2 . Als 
Zahlzeichen sind nur 0 und 1 zu gebrauchen, die Ziffern bedeuten nach ihrer Stellung 
links vom (Dual-) Komma die 0 te , l te , 2 te . . . Potenz von 2, rechts von demselben 
die l*e, 2te, 3 te . . . Potenz von 1 / 2 ; so ist z. B. die Zahl 100 im dyadischen System 
1100100 zu schreiben, der Bruch 5 / 16 dvadisch: 0,010 L; die Rechnungsregeln sind im 
wesentlichen die gleichen wie im Dezimalsystem. So nimmt sich z. B. die Verwandlung 
von f/g und von 1 / 17 in Dualbrüche folgendermaßen aus: 
1 / b : dyadisch 
1 
— Töi 
1 / 17 : dyadisch 
1 
_ 10001 
101 1,000 0,0011 
1 10l l 
110 
101 
1000 
101 
11 
10001 1,00000 0,00001111 . 
ioooi 1 
11110 
10001 
11010 
10001 
Tooio 
10001 
Ebenso wie die aus rationalen Brüchen entstehenden Dezimalbrüche besitzen 
auch die aus solchen entstehenden Dualbrüche Perioden. Ist m die kleinste Zahl 
derart, daß die Primzahl p in 2 ni — 1 aufgeht, so ist die Periode mstellig z. B. für 
p — 7 3 stellig, und die Periode von 1 : p k hat (bei gleicher Bedeutung von m) 
p k ~ l m Stellen, z. B. hat der Dualbruch für 1/9 eine Ostellige Periode. — Für 
zusammengesetzte Nenner gilt bezüglich der Anzahl der Periodenstellen das Entsprechende 
wie bei den Dezimalbrüchen. 
1) Statt der Zahl 3 kann auch eine andere Primzahl genommen werden, die in P 
aufgeht; dies ist notwendig, wenn p k selbst eine Potenz von 3 ist. 
2) Disquisit. arithmet. §§ 309 — 311. 
