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Sitzungsberichte : Plenarsitzung. 
sodann zwei planimetrische Sätze, deren ersten ich angeben will: Satz. 21. Wenn 
einem Kreise ein regelmäßiges Polygon von gerader Seitenzahl einbeschrieben wird und 
darin Diagonalen der Art gezogen werden, daß die erste derselben nur eine Ecke 
ausläßt und die andern dieser parallel laufen, so verhält sich die Summe dieser 
Diagonalen zum Durchmesser des Kreises wie die zweitlängste Diagonale des Polygons 
zu seiner Seite; also (siehe Figur 1): 
BM -f CL -f DK+ EJ + FR : AG = BB : BA, 
oder: Aß X Summe der Diagonalen = Durchmesser X nächstliegender Diagonale, folglich 
auch kleiner als Durchmesser-Quadrat oder 4 Radius-Quadrat. 
Rotiert nun diese Figur 
0 
nun cuese mgur um 
den horizontalen Durchmesser, so 
entsteht eine Kugel und darin eine 
räumliche Figur, die von konischen 
Flächen begrenzt wird. Die Ober- 
fläche dieser Figur (also die Summe 
der konischen Flächen) ist, wie aus 
den erwähnten Sätzen vom Kegel 
folgt, gleich einem Kreise, dessen 
Radius-Quadrat gleich ist einem 
Rechteck mit der Seite des 
rotierenden Polygons als einer 
Seite und der Summe der vorhin 
bezeichneten Diagonalen einschließ- 
lich des Durchmessers als anderer. 
Sein Inhalt ist also nach dem Zu- 
satz zum angegebenen planime- 
trischen Satz kleiner als 4 Radius- 
Quadrat, und die Oberfläche der 
der Kugel einbeschriebenen Figur 
demnach kleiner als das Vierfache 
des größten Kreises der Kugel. 
Wird andererseits statt in einen Kreis um denselben ein Polygon gleicher Art 
wie früher beschrieben und die Figur wieder zur Rotation um den horizontalen Durch- 
messer gebracht, so ist die Oberfläche der entstehenden von konischen Flächen be- 
grenzten Figur größer als das Vierfache des größten Kreises der Kugel. 
Nun ist, schon der Anschauung nach, die Oberfläche der inneren Figur kleiner, 
diejenige der umbeschriebenen Figur größer als die Oberfläche der Kugel. Denkt man 
sich nun die Anzahl der Polygonseiten verdoppelt, vervierfacht, verachtfacht usw., so 
werden die Oberflächen der entstehenden ein- und umbeschriebenen Figuren von beiden 
Seiten her der Oberfläche der Kugel immer näher kommen und somit ist der Beweis 
für folgenden Satz geführt: 
Die Oberfläche der Kugel ist gleich dem Vierfachen ihres größten 
Kreises. 
Die eben skizzierte Beweismethode, bei der die als gleich darzutuenden Größen 
von beiden Seiten her in immer engere Grenzen eingeschlossen werden, ist unter der 
Bezeichnung Exhausti onsbeweis bekannt, und von den Alten schon vor Archimedes 
als allein mit der erforderlichen Strenge ausgerüstet benutzt worden. 
Insofern in ihr eine Summation sehr vieler hinreichend kleiner Größen zur Anwendung 
