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Sitzungsberichte: Mathematisch-physikalische Sektion. 
Sitzung am 12. November 1908 
in der Universität. 
Herr Prof. Carl Kostka aus Insterburg hielt einen Vortrag: 
Zur Grundaufgabe der symmetrischen Funktionen. 1 ) 
1. Die Aufgabe, bei einer algebraischen Gleichung eine symmetrische 
Funktion der Wurzeln durch die Koeffizienten auszudrücken, ist eine 
elementare. In Sekunda lind Prima lernt der Schüler die einfachsten Fälle kennen; 
auf der Hochschule wird in den Anfangsvorlesungen der allgemeine Fall erwähnt im 
Anschluß an den Satz, daß für jede symmetrische Funktion der Wurzeln der Ausdruck 
in den Koeffizienten rational ist und ganzzahlig für ganzzahlige Funktionen. Eigen- 
tümliche Schwierigkeiten hat jedoch die Aufgabe. Zahlreich und verschiedenartig sind 
die Vorschläge zur Lösung. 2 ) Nach Newton und Waring, ebenso nach Cayley 
und Brioschi soll man auf Potenzsummen zurückgehen, um dann durch Newtons 
Identitäten und Warings 3 ) Formel oder durch gewisse partielle Differentialgleichungen 
und Gleichungssysteme zum Ziel zu gelangen. Die Multiplikation von Elementar- 
funktionen empfehlen Waring und Gauss, eine Reihe von Divisionen Cauchy. Nach 
Borchardt und Kronecker, ist der Entwickelungskot ffizent aus gewissen erzeugenden 
Funktionen zu suchen; nach Kronecker und Netto sind die Zahlenfaktoren durch 
Spezialwerte, also aus linearen Gleichungen zu ermitteln. Saalschutz leitet den 
Funktionswert ab, indem er von einer Gleichung niederen Grades zum höheren Grad 
durch eine Art Variation der Konstanten aufsteigt. Gordan stellt mit Hilfe der 
Exponential- und der logarith mischen Reihe allgemeine Formeln für symmetrische 
Funktionen auf und in mehreren Fällen die Zahlenfaktoren als analytische Funktionen 
der Indizes dar. Aber fast immer hat bei diesen Methoden der Stoff sich recht spröde 
gezeigt: die Rechnung wird verwickelt, eine durchsichtige Schlußformel fehlt und das 
Ergebnis läßt kaum anders sich nachprüfen als durch Wiederholung der ganzen Rech- 
nung. Wesentlich glatter wird alles durch Anwendung von Determinanten, ein Ver- 
fahren, das 1875 zuerst vorgeschlagen worden ist (J. 81). Tafeln für symmetrische 
Funktionen sind u. a. berechnet von Meier Hirsch, Cayley, Faa di Bruno, Mac 
Mahon, Durfee; Tafeln anderer Art s. J. 93 und Prgr. 
Von F{t ) = o seien t\, . . t n die Wurzeln und c l5 . . c n ihre Grundfunktionen, 
also: 
(1) F(t) = «— <j) (t - 1 2 ) . . . (t — t n ) = r - c, . e ~ 1 + e- 2 1" ~ 2 . • • (- 1)” • C„ 
Jede symmetrische Funktion ist auf Typen zurückzuführen, die zugleich ganz 
und homogen sind, z. B. Ein solcher Typus sei T, ein Produkt der Grund- 
1) Herr Prof. Saalschütz hat den Vortrag veranlaßt. Bezug genommen wird 
auf des Vortragenden Arbeiten: Crelle Journ. (hier kurz: J.) Bd. 81, 82, 93, 132; 
Jahresber. d. dtsch. Math.-V. XVI, S. 429—451 u. S. 536 (hier: Ber.); Programm 
d. Insterburger Gymn. 1908 (Prgr.). Aus 30 dort behandelten Aufgaben wird 
hier die wichtigste herausgehoben. 
2) Quellenangaben s. Encyklopädie I, 449 ff. Dazu: Gordan, Math. Ann. 52; 
Saalschutz, Arch. d. Math. u. Ph. 3. Rhe., 9. Bd. 
3) Waring, nicht Girard; vgl. Saalschütz, Arch. f. Math. u. Ph. 3. Rhe., 
12 Bd. S. 205 f. und Bibi. Math. IX, S, 65 ff. 
