Kostka: Zur Grundaufgabe der symmetrischen Funktionen. 
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funktionen sei K, indem hier die Indizes der c, dort die Exponenten der t als Index- 
reihe beigefügt, auch gleiche Indizes symbolisch in Potonzform zusammengefaßt werden. 
Solche Indexreihe sei 
(2) fft) = «o, = l n \ 2 n \ 3” ,s . . . ; 
auch (ß) — ß 0 , ß v ß 2 , . . . Die Anzahl der Glieder von T ist v = n \ : (n — m)! m t ! w 2 ! ft? 3 ! . 
weil nur in der Permutation der Exponenten von t v . . t n , bei denen n — m Nullen 
sind, die einzelnen Glieder sich unterscheiden. Außer T ufid K kommen für das fol- 
gende noch gewiße Determinanten der c in Betracht: 
(3) 
C(*)=O 0 , i v '..l,,;! k c i+l--‘ c i + r-l |. 
wo der Ausdruck rechts eine Determinante r-ten Grades bedeutet, deren h - te Zeile aus 
der hingeschriebenen dadurch entsteht, daß — h-\-l an die Stelle von X tritt; 
A 0 , . . . X r _ 1 sind die Indizes der Diagonalreihe und immer absteigend geordnet, 
während die Reihenfolge bei («) oder (ß) in der Regel willkürlich ist. Dabei wird 
Cg = 1, c_ h = c n _j _ h — o gesetzt, wie auch t n h —o anzunehmen ist. Unsere Aufgabe 
ist nun die, ein T durch die K auszudrücken, oder kurz die Aufgabe T, K. Sie 
wird hier durch T, C ersetzt: gerade die Darstellung durch Determinanten ge- 
währt für mancherlei Fragen besonders leichte Übersicht. Will man aber weiter gehen, 
so bliebe noch die Determinanten -Entwicklung C, K in bekannter Art auszuführen. 
Jedes C ist, ebenso wie T und K, eine homogene Funktion der t. Denn wird jedes t h 
durch y . t h ersetzt, so erhält C(i} ohne weitere Änderung den Faktor y^o H“ • • ^ r ~ 
In jeder Gleichung zwischen T und K oder C müssen alle Glieder in der Dimension 
übereinstimmen; andernfalls würde ein Widerspruch dann z. B. entstehen, wenn t v . . t n 
Maßzahlen von Strecken wären. Die Dimension oder das Gewicht sei fx. Also: 
(3) [x — «o -f «j -f- • • • K m _ i — 1 . m 1 -{- 2 . wi 2 -f- 3 . m B 4- . . . — A 0 -f- X y -j- . . . l r _ r 
2. Multipliziert man T( (i ) mit dem Differenzenprodukt der t, also mit der Deter- 
minante .</ = + ^4 • • • s0 eutsteht die alternierende Funktion J . T, deren 
Gliederzahl v . n ! ist. Bildet man zunächst das Produkt von T mit dem Anfangsglied 
von J, so erhält man v positive Glieder von der Form t^° t^ 1 . . . ihre Exponen- 
ten entstehen, indem zur festen Reihe 0, 1, . . . n — 1 die Zahlenreihe « 0 , « 1 , . . . « n _j 
wobei n — m der «Nullen sind, in den verschiedenen Folgen addiert wird. Im Produkt T.z/, 
das alternierend sein muß, kann jedes jener v Glieder nur eines von ft! Gliedern gleicher Art 
sein, die zusammen eine Determinante von der Form D— t £ n ~' 1 bilden. Von 
den v Determinanten D verschwindet jede, bei der irgend zwei Zahlen y gleich sind. Sind 
aber alle Exponenten ungleich, so ordne man sie aufsteigend, etwa durch v Vertauschungen 
von Spalten: dann bliebe noch D\4, wo jetzt (y) eine auf steigende Reihe ist, zu 
bestimmen. Seien ß 0> ß l} ß 2 . . . in aufsteigender Folge die Zahlen, welche y 0 , y x . . y n _ 1 
zur ununterbrochenen Reihe 0,1,2, ... y n l ergänzen. Man verwandle D ohne Wert- 
änderung in eine Determinante vom Grade y n _ 1 —J— 1 , indem man jeder Zeile die fehlenden 
Potenzen tßo, tßi, . . hinten anfügt und die y M _ 1 + l — n = r zugesetzten Zeilen in der 
Hauptdiagonale mit 1, sonst mit 0 füllt. Indem man die Spalten so umstellt, daß die 
Exponenten die ununterbrochene Folge 0, 1,2,.. y n _ 1 bilden, entsteht D x — ( — 1) € i . D. 
In Di multipliziere man die Spalten der Reihe nach mit ( — 1)°, ( — l) 1 , . . . ^ — Y)Y n —l 
und in der neuen Determinante D 2 = ( — 1) € 2 . Di addiere man, von rechts her be- 
ginnend, zu jeder Spalte, so lange es angeht, die mit c l5 c 2 , . . . c n multiplizierten vorauf- 
gehenden ft Spalten. Wegen F(t h ) = 0 entsteht dann rechts oben ein Rechteck von n.r 
Nullen und D 2 zerfällt in das Produkt von (— 1) .^/und ( — 1)^0 “t“ /^i /^2 +* • * Cfy) 
wobei l h statt n-\-h — ß h gesetzt ist. Also ist D : 4 =■ ( — 1) € . C^x) und e = -j— 
