Kostka: Zur Grundaufgabe der symmetrischen Punktionen. 377 
3. Die Regel (4) löst die Aufgabe T, C und führt auch für T, K bei allen 
Beispielen der Bücher schneller zum Ziel als jede sonst bekannte Methode. Weitere 
Vereinfachung ist aber wünschenswert und möglich. Dadurch, daß jede Determinante 
C in (4) höchstens den Grad r< 0 haben kann und in der Dimension mit Tu) überein- 
stimmen muß, ist die Anzahl der C beschränkt. Wie oft aber und mit welchem 
Vorzeichen kommt ein bestimmtes Om in der Entwickelung von Tu) vor? (Vgl. 
J. 81, § 3.) 
In der ununterbrochenen Reihe 0,1,2, 3,... wird eine Zahl ß hinter die Zahl 
/5 — j - -z geschoben durch z Vertauschungen. Zu ß 0 in der Reihe 0,1,.. fx — 1 sei ein «, 
etwa « , zugelegt. Ist ß Q -)- — 1, 80 rückt es durch fi — 1 — ß Q Umstellungen 
hinter f.i — 1. Ist aber ß 0 -j- oc 1 < [x, so gelangt es durch a — 1 Vertauschungen hinter 
ßo d~ c>i i — 1 und zu dem dann folgenden ß 0 -}- ä ± ist ein anderes «, etwa d 2 zuzulegen, 
dann zu ß 0 -f- a x -f- « 2 vielleicht ein drittes usf., bis etwa ß Q -f- «j -{- -j- . . t< m , = y 
>> {x — 1 wird. Dann ist durch 
(«i — !) + (fV -1 ) + • ■ ( V- i~~l) + (Jl- [ß 0 + \ + « 2 + ' ‘ <V- il) 
= [x — ß 0 — m X ----- o — Wb 
Vertauschungen die Reihe wieder aufsteigend geordnet; in ihr fehlt ß 0 und y > fx-l 
steht statt dessen hinter fx — 1. Fehlt in der y-Reihe noch eine Zahl ßi, die <^ { u ist, 
so wird ebenso eine Zahl ß 1 -j- a -f- . . a m „ = y\ >» [x — 1 und verschieden von y 
dafür eintreten und alles kommt wieder in die richtige Ordnung, y" aber hinter y , 
durch /x -f- 1 — ßi — m" — X Y — m '' Vertauschungen. Fehlen i Zahlen ß 0 , . . ß. i __ i , 
die [x sind, so treten dafür i Zahlen y , y ', . . ytt), die fx — 1 sind, in der y-Reihe 
auf. Sind q Vertauschungen nötig, um y, y ", . . y (0 zu einer aufsteigenden Reihe 
zu machen, so ist die Gesamtzahl aller Umsetzungen = 1 0 -j- X t -|- . . X,- x — m -j- q; denn 
m -f- m" -f- . . m(0 = m. weil jedes a nur einmal addiert werden darf. Damit ist das 
Vorzeichen von C^) bestimmt. Zugleich sieht man, daß Wert und Vorzeichen von Om 
nicht geändert wird, wenn innerhalb der i Gruppen die Reihenfolge der Summanden a 
sich ändert, ferner, daß Cß) überhaupt so oft Vorkommen kann, als aus derselben 
aufsteigenden Reihe ß 0 , . . ß,-^ dieselbe Reihe y , . . . y(X) in irgend einer Folge durch 
die Additionen sich herstellen läßt. Da ß h == fx h — X h ist, so hat man die Regel: 
(5) „In der Reihe (A) { u — A 0 , fx -|- 1 — X v . . . t u -)- r — 1 — ^ r —l se i en i Zahlen 
kleiner als fx ; sie seien in aufsteigender Ordnung ß 0 , ß\,-.ß^ v Dann müssen in der 
Reihe (B) [x, /x -|- 1, . . . jx -f- r — 1 genau i Zahlen sich finden, etwa y, y", . . . y( l ), die 
nicht zugleich in der Reihe (A) stehen. Es ist (ß 0 -(- . . -j- (« 0 a m— l) = • • yb“). 
Man prüfe, auf wieviel Arten durch Hinzufügen der Zahlen « zu den Zahlen ß Q , . . ßf_i 
die Reihe y , .. yi*), die durch q Vertauschungen zu einer aufsteigenden wird, hergestellt 
werden kann, wobei jedoch nie vor Addition des letzten der benutzten « eine Zahl 
oberhalb ^ i — 1 erreicht sein darf. Die gefundene Zahl erhält das Vorzeichen 
( — l~“ m + £. Dies ist für alle verschiedenen Anordnungen vön y\ . . y(f) 
durchzuführen. Dann ist die Summe der so erhaltenen positiven und negativen Zahlen 
der Faktor von 0(2) in der Entwickelung von T^ a y li 
Es sei z. B. für (a) = 3, 2 3 , l 11 in der Entwickelung von der Faktor von 
0 17 , 3 gesucht. Die Reihe (A) ist 3,18; die Reihe (B) ist 20,21. Also ist 20,21 oder 
21,20 aus 3,18 durch Addition jener 15 Zahlen a herzustellen, wobei jedoch 21 nicht 
dadurch entstehen darf, daß 1 der letzte Summand ist. 
