Kostka: Zur Grundaufgabe der symmetrischen Funktionen. 
379 
betreffenden Gliedes wird -j- oder — sein je nach der geraden oder ungeraden Anzahl 
von Vertauschungen, durch welche aus der erhaltenen Folge der y die aufsteigende 
Reihe \ T) entsteht. Somit stimmt der Faktor von K^ a ) in dieser Determinante mit 
dem von C(X) in überein; denn beide Zahlen setzen in gleicher Art aus -{- 1 und 
— 1 sich zusammen. 
Die Hauptdiagonale jener Determinante hat als Indizes die Zahlen der Reihe: 
(D = r*r-l, (r — l) l '-2 — *r- 1 , . . . l^o — A i, 
wenn ju— X Nullen als unwesentlich weggelassen werden. Diese Reihe heißt nach 
Cayley konjugiert oder zugeordnet zu (A) und sie wird erhalten, wenn man jede 
der Zahlen A 0 , . . A r—1 in eine Summe von Einheiten auflöst, die Summen gleich- 
mäßig untereinander schreibt und spaltenweise addiert. Z. B. sind 7, 5, 2 2 und 4 2 , 2 3 , l 2 
sich gegenseitig und 5, 2, l 3 ist sich selbst zugeordnet-, zu («) ist («') zu (ß) ist (ß') 
konjugiert. Nun sei der Zahlenfaktor, den nach der Vereinigung 
gleicher Glieder in der Entwickelung von C(X) hat. Dann haben wir die 
Formeln : 
(6) 
C, n =£ x^ . K, 
W G) («) 
(7) 
T — y( f< ) c 
{«) (7) W’ 
(Ö) 
T, X‘X . ?} 
I) • *c 
wobei die Summen über alle Indexreihen der betreffenden Dimension auszudehnen sind. 
Ungeeignete Glieder werden durch Verschwinden des Zahlenfaktors von selbst aus der 
Summe herausfallen. Die Aufgaben T, C und T, K sind somit durch übersichtliche 
Lösungsformeln auf die Aufgabe C, K zurückgeführt. Die Natur der Zahlen x ist 
näher zu untersuchen. 
Eine bestimmte Ordnung der Indexreihen einer Dimension ist wünschenswert. 
Zwei Anordnungen sind wichtig: I. Die natürliche oder Hauptordnung: Jede 
Reihe wird absteigend geordnet und von zwei Reihen steht die voran, welche an erster 
Stelle die höhere Zahl hat; stimmen aber die Zahlen beider Reihen in den ersten 
h Stellen überein, so steht die Reihe voran, die in der (/i-|-l)-ten Stelle die höhere 
Zahl hat. II. Die Neben Ordnung: Die h-te Reihe ist der h- ten Reihe der Haupt- 
ordnung konjugiert. Daher steht von zwei Reihen die mit der größeren Anzahl von 
Indizes voran und, wenn diese Anzahl gleich ist, diejenige, die weniger Einsen enthält; 
sind zwei Reihen auch darin gleich, so entscheidet die geringere Anzahl der Indizes 2 usf. 
Bei x sei die obere Indexreihe absteigend geordnet, wie die untere. Aus den 
ersten Regeln der Determinanten-Entwickelung erkennt man: 
(9) „Die Zahl x^ verschwindet: a) wenn («) in der Dimension mit (A) nicht 
übereinstimmt; b) wenn A 0 >> « 0 ; " c) wenn m >> r. Ist A 0 = « 0 , so dürfen 
beide Indizes fortgelassen werden. Es ist x^ = 1.“ 
Eine gute Reduktion für x liefert die Formel : 
(10) ^ = % 
%-l 
C ^ 2 — 2 
