Kostka: Zur Grundaufgabe der symmetrischen Funktionen. 
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Von den Zahlen x sind die 4 ersten, die 6-te und die 3 letzten durch Anwendung 
von (11), (12), (9), (13) sofort hinzuschr eiben; die 5-te ist oben auf zwei Arten gefunden; 
aus (10), (12) oder auch aus (5) ist die 7-te Zahl leicht zu ermitteln. In gleicher Weise 
kann durch eine Tabelle, deren Spalten die Werte von (1), (T), und den Weg der 
Rechnung angeben, jede Zahlenaufgabe übersichtlich gelöst werden, so daß die Nach- 
prüfung für alle Teile der Rechnung leicht ist. 
b) zu bestimmen, wenn (cc) = 2”* 2 , l mi ist 1 ). Hier ist ^ -f- 2m 2 ; («) = 
m 1 -|- m 2 , m-i ; «pg 2. Die Reihen (1) dürfen nur 1 oder 2 Zahlen enthalten; irgend 
ein (4) ist also -f- m 2 -j- Ä, m 2 — h , wo h die Werte von 0 bis m 2 durchlaufen darf. 
Dann ist (T) = 
Somit : 
(14) 
qW*2~ 
-h i% + 2h , («) 
, I , also *(*') — '>1 + 2/* 
(-1) 
h ( n h+h) 
m x ! h ! 
nach (9) und (11). 
2 a, 1 
h=m 2 
2 (- 
»=0 
IV 
( w i+ /t) 
! h ! 
. c. 
m 1 -f- m 2 -(- h , w? 2 — h . 
c) Für («) = 3™ 3 , 2 W ' 2 , l Wl ist T > zu bestimmen. Hier ist /u = m\ -j- 2 m 3 -|- 3m 3 ; 
(«') = -f- m 2 -|- w? 3 , m 2 -|- m& 3 , m 3 ; * n (7) darf (4) höchstens drei Indizes haben und in 
der Hauptordnung nicht hinter («) stehen. Der erste Index l 0 darf also nicht kleiner 
als m\ -J- m 2 -j- m 3 sein ; der dritte darf wohl verschwinden, nicht aber m 3 übersteigen, 
weil sonst der zugehörige Wert von = 0 wäre nach (9). Somit hat jedes (1) die 
Form m 1 -j- w 2 -j- m 3 -j- h, m 2 -f- m 3 — h -j- i, m 3 — i; dabei kann i die Werte von 
0 bis m 3 annehmen ; h muß, weil (1) absteigend sein soll, 2i und +> 1 
jedoch nicht negativ sein. Dann ist (V) = 3™ 3 ~~ *, 2™ 2 + 2l ~ h , l nh ~ * + 2/1 und x^)^ 
kann nach (9) so vereinfacht werden, daß die obere Indexreihe 3*, 2 M?2 , l™ 1 ; die untere 
2»»2 + 2< — ^ p»i — * + 2/j w i rc p Hier ist oben und unten die Dimension m\ -{- 2m 2 -j- 3i , 
die Anzahl der unteren Indizes übertrifft die der oberen um h. Man könnte auch 
nach (13) die Zahl so umformen, daß die obere Reihe 3 h , 2*” 1 , l”* 2 , die untere 
2 »Ji + 2/i — * ||? 2 — /i+2* w j r( j. letztere Form ist für die Auswertung vorzuziehen, wenn 
»Hj. -j- 3h <C m 2 -j- 3i ist. Von den Gliedern in (7) hat _j_ 2 w 2 2 -f -3m 3 den Faktor 
( — l)™ 2 . diejenigen, für die i = 0 ist, sind zusammen 
v ’ m 1 ! m 2 ! m 3 ! ’ J & ’ 
h=m o , / i i \ i 
_ v " /- i \/< (»*i+/Q ! 
' ' ’ ’ r> h ! k ! ‘ ° w*i + ») 2 + m 3 + h, m 2 + m 3 — h,m 3 
und die Summe derer, für welche h = 0 ist, wird ganz ähnlich aus jenem nach (13) 
umgeformtem Wert von x )jjy zu bilden sein, nur sind hier die Fälle m!+>m 3 und wi!<(m 3 
zu unterscheiden. Auch für andere Spezialwerte von i oder h wäre nach (10), (11), (12) leicht 
die geschlossene Form der Zahlenfaktoren anzugeben. Für den allgemeinen Fall dürfte 
jedoch (5) am besten zum Ziel führen. Hier ist (4) = m 1 -j- m 2 -j- i -j- h, m 2 -j- 2i — h; 
die Reihe (B): m 1 -(- 2m 2 -j- 3i, mj -}- 2m 2 -(- 3i -f- 1 ; also die Reihe (A): m 2 -f- 2i — h, 
m x -(- m 2 -j- i -j- h -j- 1 . Zu prüfen ist, wie aus diesen Zahlen (A) durch Hinzufügen 
der « einmal die Zahlen -j- 2m 2 -f~ 3i und -|- 3i -j- 1 , dann aber dieselben 
Zahlen in umgekehrter Folge entstehen können, wobei jedoch für m 1 -j- 2m a 3i -f- 1 
der letzte Summand nicht 1 sein darf. Es sind I) die Summen mi -j- m 2 -(- i -j- h und 
1) Wakikg, medit. algebr. ed. III, p. 14 f. Vgl. Sekret, cours d'alg. sup. I, 176; 
J. 81, S. 288; Saalschütz, Arch. d. M. u. Ph. 3. Rhe., IX, S. 140 ff. 
Schriften d. Physik. -Ökonom. Gesellschaft. Jahrgang IL. 
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